фикам рис. 1.6 для колебания основного типа {п=1). Значения /з/а при условии (Л/Л)о~0,7 приведены в табл. 3.2. Длины запредельных волноводов у всех звеньев задавались одинаковыми (/.и) = /, i=i,3, /=1, 2, N).

Таблица 3.2

Как и следовало ожидать, с ростом 1/а уменьшается относительная полоса пропускания фильтра независимо от числа звеньев. Увеличение ег приводит к расширению полосы пропускания, что объясняется увеличением связи между отдельными резонансными звеньями. Из сравнения рис. 3.12 и 3.13 следует, что, увеличивая А/а, можно реализовать более узкополосный фильтр при той же длине запредельных волноводов.

Для определения крутизны ската частотной характеристики использовался дифференциальный параметр 8 = dP/d{A/K) дБ, который имеет смысл изменения затухания (в децибелах) при заданной расстройке по параметру А/К. В реальных полосовых фильтрах б является переменной величиной. Поэтому расчетные значения б, приведенные на рис. 3.14 и 3.15, соответствуют усреднен-

Рис. 3.14. Зависимость крутизны высокочастотного ската б от длины 1/а запредельного волновода при различных значениях числа звеньев фильтра (Л/а=2)

ным значениям на участке частотной характеристики с перепадом затухания от 5 до 30 дБ. Остальные параметры фильтра задавались из тех же соображений, которые использовались при расчете полосы пропускания Д (рис. 3.12 и 3.13). Можно выделить три

основных фактора, определяющих крутизну ската б: нормированную длину запредельного волновода 1/а, диэлектрическую проницаемость слоя ег и число звеньев фильтра N. Влияние этих параметров наглядно иллюстрируют рис. 3.14 и 3.15.

ф 0,9 V ¥ Ф Р Р Vа, V ¥ o,s oj i,t op 9,7 0,9 i,i

Рис .3.15. Зависимость крутизны высокочастотного ската S от длины 1/а запредельного волновода при различных значениях числа звеньев N фильтра (Л/а=3)

Этап 2. Вводим дополнительный критерий: отклонение частотной характеристики фильтра от заданной (включая пульсации в полосе пропускания) должно быть минимальным. С учетом этого критерия будем формировать целевую функцию. В простейшем случае среднеквадратичного приближения она строится следующим образом. Пусть требуемая частотная характеристика полосового фильтра соответствует характеристике, показанной пунктирной линией на рис.

Рис. 3.16. Влияние числа точек разбиения п интервала аппроксимации на форму характеристики модуля коэффициента отражения Si,:

/ - требуемая характеристика; 2 - оптимальная характеристика, л=9; J -то же, л-18; 4 -

то же, л = 36

im 1!,т о,т

3.16, а частотная характеристика для некоторого сочетания параметров (геометрические размеры, диэлектрическая проницаемость и т. д.) - характеристике, показанной сплошной линией.

Разобьем диапазон частот, в котором рассматривается частотная характеристика фильтра, на п точек: fi, /2, fn (на рис. 3.16 по горизонтальной оси отложен параметр А/Х, который пропорционален частоте). Вычислим отклонение требуемого значения коэффициента отражения [цтр] от фактически имеющегося значения коэффициента отражения 5ii* на каждой частоте, т. е. А511 = 5п^Р(/0 I -lSn*(/i) I- Тогда искомая целевая функция примет следующий вид:

5](A5iil)

Li=l

И задача оптимизации фильтра сводится к отысканию минимума функции М. Этому минимуму и будет соответствовать искомый вектор параметров.

Строгое обоснование выбора числа точек разбиения п сделать довольно трудно. Согласно имеющимся рекомендациям [47] во многих случаях достаточно ограничиться значением R~(2-3)iV, где Л/ -число звеньев фильтра. Однако для некоторых алгоритмов оптимизации может потребоваться большее число точек разбиения. Поэтому предварительная проверка реакции конкретной программы на изменение параметра п весьма желательна.

Время расчета оптимального варианта фильтра существенно зависит от количества точек разбиения п. Ориентировочные затраты машинного времени в случае трехзвенного фильтра (девять независимых параметров) при использовании ЭВМ средней производительности (ЕС-1022, Минск-32 ) приведены в табл. 3.3 для целевой функции среднеквадратичного вида.

Таблица 3.3

Результаты оптимизации получены с помощью программы минимизации функции многих переменных по алгоритму деформированного многогранника [116]. Требуемая частотная характеристика \SnP\ задавалась в линеаризованной форме. Фактическая частотная характеристика 5и* рассчитывалась по программе приложения 3, которая была оформлена в виде подпрограммы с формальными параметрами, соответствующимк размерам диэлектрических слоев и расстояниям между ними. Д пая подпрограмма вызывалась из головной программы, реали^ ющей алгоритм деформированного многогранника. 76

Эффективность работы большинства программ машинной оптимизации зависит и от того, насколько близко выбрано положение вектора начального состояния параметров к положению вектора, определяемому оптимальным сочетанием параметров, соответствующих минимуму целевой функции. Если положение вектора начального состояния выбрано неудачно, то резко возрастает время поиска оптимального вектора. При сложном рельефе целевой функции есть опасность обнаружения условного экстремума. Во избежание этих нежелательных явлений целесообразно положение вектора начального состояния параметров выбирать на основе данных предварительного анализа частотных характеристик, полученных на предыдущем этапе. Признаком глобального экстремума в этом случае является чебышевский альтернанс частотной характеристики [47].

Пример. Рассчитаем параметры запредельного волноводно-диэлектрического полосового фильтра с чебышевской характеристикой в диапазоне частот 8,87-9 ГГц при уровне пульсаций Sii]<0,2 и крутизне высокочастотного ската 0,14 дБ/МГц. Фильтр возбуждается прямоугольным волноводом шириной А=2,3 см, отношение размеров А/а=2, проницаемость слоев 81 = 1, 82=3,8.

1. Для заданной полосы пропускания и ширины регулярного прямоугольного волновода находим границы изменения параметра ЛД:

AlX)i = 2,3-8,87-10 /3- IQio = 0,68;

/1)2 = 2,3-9-10V3-10i = 0,69.

2. Задаем верхнюю границу модуля коэффициента отражения, по которой формируется целевая функция, равной Siil=0,9, что соответствует потерям на отражение Аз, вычисляемым по формуле

fc3=101g-

= lOIg-

0,92

-0,92

= 6,3 дБ.

3. Найденному в п. 2 затуханию округленно с запасом 7 дБ соответствуют расстройка 7 дБ/0,14 дБ/МГц = 50 МГц и значение (Л/Я)=2 = 2,3-9,05-10V3-10 = = 0,694. При симметричной характеристике такая же расстройка на низкочастотном участке дает (Л/Я) 1=2,3-8,82-10/3 10i = 0 676

4. По точкам (Л/Я,)=1, (А/К) (Л/Я)2, (А/Х) ! строим идеализированную характеристику фильтра (пунктир на рис. 3.16), по отношению к которой фор-мируется в дальнейшем целевая функция.

5. Вычисляем вспомогательные величины, необходимые для определения вектора начального состояния параметров:

а) полоса пропускания

fi - fi 9 - 8,87 - -100% л, 1,50/0;

Д = -

/о

8,935

иа 7 МГц, т. е. параметр (Л/А) =2,3-9,057Х

б) изменению потерь на 1 дБ соответствует расстройка новая частота /=9,057 ГГц. Для этой частоты параметр Х10 /3-10о=0,69437; находим параметр

я 1 1

О - --= -- - от. пз.

\(А/ХУ-(А/Х)\ 10,694- 0,69 4371

в) для иайдеииых в пп. а) и б) значений параметров путем наложения графиков иа рис. 3.12 и 3.14 находим N=3 и ориентировочное значение Va~0,65, а по граф - ~ - f у

графику рис. 1.6 при п=1 определяем ширину слоя l2la~0,5; -- вектор начального состоя!

1,65 а; /(i)2=/(2)j=/(3)2=o,5a.

;(2L3°P (3) of- ?.. ?-: 9,.? состояния параметров: li(i) = l 0),=m,:.

6. Выполняем процедуру оптимизации целевой функции по минимуму среднеквадратического отклонения от идеализированной характеристики (п. 4), которая имеет вид 15 (ЛД=0,676) 1 =0,9; Su (Л Д=0,68-0,69) =0; 5 (ЛД= = 0,694)1=0,9. Результаты оптимизации частотной характеристики представлены на рис. 3.16 (сплошные линии) для различного числа точек разбиения ;i= = 9; 18; 36. Уровень пульсаций не превышает 0,2. Уточненные значения геометрических параметров фильтра при различных п приведены в табл. 3.4.

Представляет интерес сравнить вектор начального состояния параметров с оптимальными векторами для различных п. Такое сравнение позволяет судить о том, насколько близко к экстремуму выбран начальный вектор. Соответствующие данные приведены в табл. 3.4, на основании которых можно сделать вывод: при rt36 дальнейшее увеличение этого параметра не меняет состояния конечного вектора. Положение начального вектора оказалось

Таблица 3.4

Среднеквадратичное приближение целевой функции. * Целевая функция со штрафными коэффициентами.

достаточно близким к положениям конечных векторов. Это говорит о том, что данные предварительного анализа уже обеспечивают значения параметров фильтра, близкие к оптимальным. Последнее обстоятельство существенно повышает эффективность процесса машинного проектирования данного класса устройств.

Дальнейшее улучшение эффективности алгоритма оптимизации можно получить путем м'одификации целевой функции за счет введения штрафных коэффициентов. В качестве таких коэффициентов можно, например, использовать множитель вида

где t и fl -некоторые константы, характеризующие степень штрафа. Тогда целевая функция запишется так:

(3.9)

Значения оптимального вектора (табл. 3.4) рассчитаны для целевой функции вида (3.9) при /=10, q = 2, =9. Параметры конечного вектора почти не отличаются от оптимального случая, а частотная характеристика оказалась очень близкой к зависимости, изображенной на рис. 3.9 (сплошная линия). В последней колонке табл. 3.4 приведены значения полной длины фильтра L/a.

3.4. ЭКВИВАЛШТНАЯ СХЕМА ВОЛНОВОДНО-ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ФИЛЬТРА С ЗАПРЕДЕЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ

Методы синтеза СВЧ фильтров, основанные на представлении их в виде эквивалентной схемы с сосредоточенными LC-параметра-ми, получили широкое распространение. Эквивалентные схемы волноводных фильтров с запредельными связями обсуждались в работах [29, 52, 58, 110-113]. Рассмотрим этот вопрос более подробно, полагая, что в качестве базового звена фильтра используется волноводно-диэлектрический резонатор.

Волноводно-диэлектрический резонатор состоит из двух отрезков запредельных волноводов 2, связанных между собой диэлектрическим слоем длиной k (рис. 3.17а). Волновое сопротивление

Рис. 3.17. Отрезок запредельного волновода с диэлектрическим слоем и его аналоги

запредельного волновода носит индуктивный характер. Поэтому диэлектрический слой можно заменить эквивалентной линией передачи, нагруженной на индуктивность в сечении б-б. Из данных электродинамического анализа (см. гл. 1) следует, что резонанс по коэффициенту передачи соответствует условию /2~.Л/4 (Л - длина волны в волноводе с диэлектриком). Учитывая трансформирующие свойства четвертьволновой линии, получаем, что входное сопротивление в сечении а-а будет носить емкостный характер. Тогда рассматриваемому звену можно сопоставить эквивалентную схему, показанную на рис. 3.176, разделяя которую плоскостью симметрии, приходим к схеме рис. 3.170.

Следуя [ПО], матрицу передачи [а] полузвена рис. 3.170 можно записать в следующем виде:

che tZoshG

(3.10)

где В - проводимость емкостного элемента полузвена (рис. 3.17в), В случае волны Н

240 л 6

(3.11)

где К и Якр -длина волны в свободном пространстве и критическая длина волны соответственно.