Главная  Волноводные диэлектрические фильтры 

1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

где они возбуждаются. Данное обстоятельство позволяет в системе (1.4) ограничиться учетом амплитуд волн, ближайших к основной волне, т. е. решить систему (1.4) с конечным числом .неизвестных. При этом отличие решения редуцированной системы от точного решения исходной системы (1.4) оказывается весьма небольшим. Более строгое обоснование сходимости систем, близких по структуре к (1.4), можно найти в [41].

Ситуация становится еще более благоприятной, если рассматривать соосное соединение волноводов, которое наиболее часто встречается на практике. В этом случае все волны с четными номерами не возбуждаются и ближайшей волной высшего типа является волна Изо-

Собственные функции волн Н, удовлетворяющие нормировке (1.3), имеют вид

лтуА i/2~ ппх l/2 плх , l/ 2 ппх

(1.6)

Выполняя интегрирование согласно (1.5) с помощью (1.6), яаходим

Матрица А имеет блочно-диагональную структуру:

к В

З1пя и -т- sin я --m

а

п + т-

п - т-

sin д ( л - m - ) sin я { rt -- m

п-{-т-

(1.7)

В в

Рассмотрим один из возможных путей решения системы (1.4) с конечным числом уравнений т, равным количеству учитываемых волн. С этой целью запишем систему (1.4) в матричной форме

где X и b - векторы неизвестных амплитуд и свободных членов соответ-венно:

- 1-

Явх

Яв+х

К

вых

вых

Ограничимся суммированием по индексам я и р до значения, равного т. Тогда все субблоки, из которых состоит исходная матрица А, являются квадратными матрицами порядка тХт и имеют следующий вид:

единичные матрицы:

- [Евх1 = [Евых1 = [Нвх1 = [Нвых1;

[iE+] = [iEp-]=-[iH+] = [iH-];

[2Е+] = [гЕГ]= -[аН+]==[.Н7;

(1.8) (1.9) (1.10)

элементы диагональных матриц:

[ith = М - Р'- о [Th = (i);

[х з+Ь = ехр (- Pi /х), U 7h = - -7Г (Р> -У'

[,Е+],. = ехр ( - i Р7 /,), [,Е;] = ехр {i pj /,);

yth = - (- Pi = -fc? Р ( Р ): р/ Р;

элементы матриц общего вида: lE+k = [E-],=v,-.;

lH+k = lHrx]M=-v,.,

1Б^хк=5;.ехр(-Р1 /з); [£в-ых]/й = Ьехр(р1 /з);

(1.11) (.12). (1.13). (1.14)

(1.15)

(1 16)

(1.17) (1.18) 15



ГН+хи=-Ьехр(-Р1 /з)

1НГь,хк = 1Аехр(р^ /з)

(1.19) ((1.20)

Все элементы матрицы А, находящиеся вне выделенных субблоков, равны нулю. Можно показать, что количество нулевых элементов матрицы Л в процентном отношении равно [(14 т-5)/ 16т]. 100%. Тогда в пределе при т-*-оо процент нулевых элементов составляет 87,5. Весьма сильная разреженность матрицы А вызвана тем обстоятельством, что' в каждое уравнение системы (1.4) входят амплитудные коэффициенты только из смежных областей.

Решение системы линейных уравнений высокого порядка, имеющих сильно разреженную Матрицу, с помощью широко распространенных методов (например, методом исключения Гаусса или итерационным методом Гаусса - Зайделя) не всегда эффективно. Основные ограничения здесь обусловлены накоплением погрешности расчета в методе исключения Гаусса и возможной расходимостью итерационного процесса в методе Гаусса - Зейделя [42]. Последняя является весьма вероятной, так как отдельные элементы, находящиеся вне главной диагонали матрицы А, могут значительно превосходить диагональные элементы.

Достаточно эффективные алгоритмы решения данного класса систем можно реализовать, если воспользоваться методом последовательного исключения отдельных матричных субблоков. Различные модификации этого метода описаны, например, в [43, 44, 46, 47]. Применим данный метод к системе (1.4). С этой целью запишем ее с учетом (1.8) -(1.20) в развернутом виде:

Евх А- + Е+ В+ + Е- В- = Ь^; Нвх А- + Н+ В+ + В- = Ь ; 1Е3+ В+ + ,Е- В- = iEp+ С+ + lE- С-;

iH+ в+ + ,н- в- = iH+ с+ + iH- с-;

JE+ С+ + ,Е- С- = D+ + ,ЕГ D-; jn+ С+ + ,Н- С- = ,Нз+ D+ + ,Н~ D-;

хО+ + Н7ь.хВ- = НвыхЕ+, где использованы обозначения:

в- =

; с+ =

; c~ =

(1.21) (1.22) (1.23) (1.24) (1.25) (1.26) (1.27) (1.28)

(1.29)

(1.30)


Di;,

Из (1.27) и (1.28) с учетом (1.8) находим

(1.31)

где М^> = E+-H+, М^!.->=Н7 -Е7. Преобразуем теперь (1.25) и (1.26) с учетом (1.10):

m+ c+ + m+c- = 2D-

.mf-c- = 2D+.

С

где М^± -jEp+jHp; М^± =:Ер-Нр.

Умножим слева первое уравнение (1.32) на М

(1.32) на . Согласно выражению (1.31) полученные соотношения можно

приравнять:

(Н-Е) D~

(1.32)

а второе уравнение

Из (1.33) получаем соотношение

(1.33)

(1.34)

где M< = - м;Т Mf

(Е-Н) (,Е-,Н)

V

(2)

Аналогично из (1.23) и (1.24) находим М<Д+ В+-ЬМ В- = 2С-;

В- = 2С+

(1.35)

и,гумиожая слева первое уравнение (1.35) на М^+, а второе на М*-, соответственно имеем

<в+ = м^1в-,

(1.36)

с в

(,Е-,Н)

(2)



Наконец, из (1.21) и (1.22) можно исключить а- и получить

м'1+ > В+ + М'1+ в- = Ь<+ ) , (1.37)

В В

где м;г+ = Е++Н+, М'1+ = Е--ЬН-; = + Ь .

Выражения (1.36) и (1.37) можно рассматривать как систему двух матричных уравнений относительно неизвестных векторов В+ и В :

(1.38)

М^в+-М^1в- = 0;

Из первого уравнения системы (1.38) находим

(1.39)

в+ = м^+в-

гдеМ + = М*+~м^- . н, подставляя (1.39) во второе уравнение системы

(1.40)

(1.41)

(1.38), получаем в явном виде вектор [В-]

B- = M~ib(£+),

где = +

Затем из (1.39) находим в явном виде вектор B-t

B+ = M +M~ib<+ ),

а В

а из (1.21) вектор коэффициентов отражения на входе запредельного волно-водно-диэлектрического резонатора

А- = Е+ В+ + Е- В--В^. (1.42)

Далее из уравнения (1.35), (1.32) и (1.27) находим остальные неизвестные амплитуды С±, D±, Е+.

Несмотря на кажущуюся громоздкость, метод последовательного исключения матричных субблоков дает ряд вычислительных преимуществ: 1) экономия оперативной памяти ЭВМ за счет того, что при последовательной обработке требуется информация только о текущих матричных субблоках; 2) обращение матриц существенно меньшего порядка по сравнению с порядком исходной системы уравнений (в данном случае необходимо обращать матрицу порядка тХт, тогда как порядок решаемой системы уравнений 8тх8т).

В случае одноволнового приближения (т=1) получаем сравнительно цро-стые выражения для коэффициента отражения Su=A-i и коэффициента передачи S2i=£+i

. ; = (7?с+1)/( с-1) ;

где в = ГГ~ -1

(1.43)

BY (<+1)ехр(-2р( h) (r+l)exp(-2i g{4) , = (/?д-}-1)/(/?д-1);

Ру- (<7-f 1)ехр(-2р(<з)

D+ ~ 9-1

? = Pi /Pi >

2 -ехр(-р(/з) . I - со

(1.44)

l-f + /?c(l- ) 2

Vu[l-fs-f/?B(l -s)]

1.2. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ И УСЛОВИЕ РЕЗОНАНСА

. Для анализа частотных характеристик элементов матрицы рассеяния рассматриваемой волноводно-диэлектрической структуры воспользуемся полученными выше выражениями. Такие характеристики дают важную информацию о резонансных явлениях в запредельном волноводе с диэлектричеёким слоем. В частности, условие резонанса будет соответствовать максимуму S2i или минимуму \Sn\.

. Расчетные данные получены при следующих предположениях:

сечения регулярных волноводов на входе и выходе резонатора одинаковы: А = В\

относительные диэлектрические проницаемости слоев задавались так: 61 = 63=1, ej = 6 (набор дискретных значений);

омическими потерями в стенках волновода и диэлектрическими потерями в материале слоя пренебрегаем;

размер А выбирался так, чтобы в подводящих волноводах распространялась только основная волна Ню. Это же требование соблюдалось при выборе значения проницаемости диэлектрического слоя. Размер а выбирался так, чтобы участки волноводов, связывающих диэлектрический слой с подводящими волноводами, били запредельными для основной волны.

Необходимые для расчета постоянные распространения вычислялись по формулам

тХ 2а

Где Я, - длина волны в свободном пространстве.

(1.45)



1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23