Главная  Волноводные диэлектрические фильтры 

1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

му, где не требуется вычислять производные. Данному требованию удовлетворяют, например, различные модификации метода Рунге - Кутта.

2.2. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ОТРЕЗКА ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ С ПРОДОЛЬНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДОЙ

Рассмотрим отрезок линии передачи, который на участке 0<2<L заполнен продольно-неоднородной средой с проницаемо-стями е=е(2) и ц=ц(2). Как известно, матрица рассеяния [S] устанавливает связь между нормированными амплитудами падающих Ui и отраженных bi волн на достаточно большом расстоянии от неоднородности:

(2.15)

= Sx

; s =

. .

S22.

Так как по смыслу 5ii и S22 - коэффициенты отражения со стороны входа и выхода, то они удовлетворяют уравнению Риккати, приближенные решения которого рассмотрены в [59]. В уравнение Риккати входит в качестве параметра волновое сопротивление продольно-неоднородного волновода. Последнее в общем случае является неоднозначным, если волновод имеет неоднородное заполнение [65, 83], что наиболее часто встречается на практике. Данное обстоятельство делает целесообразным вычисление элементов S-матрицы из решений граничной задачи в рамках полевых представлений.

Рассмотрим этот вопрос подробнее на примере волны Я. Пусть постоянные распространения основных волн в подводящем волноводе (2:<0) и выходном волноводе {z>L) равны pi и рг соответственно. Обозначим два линейно независимых решения (2.11) на участке неоднородного заполнения через Fi{z) и /2(2). Тогда поперечные электрические ноля в различных областях можно представить в следующей форме:

Л ехр (-i Pi Z) -+- Б ехр (i р^ г); £ехр( -iPaZ).

Для определения амплитудных коэффициентов В, С, D, Е используем условия непрерывности fj. и dE /dz в сечениях z=Q и 2=L. Выполнение этих требований с учетом (2.16) приводит к следующей системе линейных уравнений:

A + B = CFAO) + DF,iO);

ifiA-A + B) = CF[ (0) + DF(0);

CFAL) + DF,{L) = E;

CF\{L) + DF{L)=-iE.

(2.17)

После ряда преобразований (2.17) находим

A2 + P2Al .

i±=-ip,-

(2.18)

A3

д4 - i P2 Al - A2

где

>Su =

5.a = -

FdL) FiiO) FiiL) F[{0)

FL) FA

A4 =

FAL) F[{L)

F[ (L) FAO) FAL)

FAO)

FAL) FAL)

FA()

FAF) FA)

Таким образом, вычисление элементов матрицы рассеяния отрезка линии передачи с продольно-неоднородной средой сводится % определению значений функций f i и F2, а также их производных в сечении z = L для заданных начальных условий в сечении 2=0. Контроль за точностью вычисления Fi(L) и р2(Ь) удобно осуществлять с помощью вронскиана. Для начальных условий

fi(0) = a; 2(0) = ft: F;(0) = c; FA) = d (2.19)

вронскиан W(Q) равен:

w (0) = f, (О) f; (О) -f; (O) p., (Q) = ad- be.

(2.20)

По теореме Абеля должно выполняться условие W(L) = W{0). Отклонение от этого условия является показателем точности, с которой определены F\2(E) и F\,2(E). Конкретные примеры использования данного подхода приведены в [79, 84-86]. При соответствующих граничных условиях его можно распространить на волноводы с поперечно-неоднородным заполнением [69].

2.3. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ РЕЗОНАТОРА С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Рассмотрим выражения для элементов матрицы рассеяния волноводно-диэлектрического резонатора, состоящего из отрезка прямоугольного волновода с диэлектрическим цилиндром. Полагая, что участок волновода с диэлектрическим цилиндром является продольно-неоднородной линией передачи, из (2.11) находим, что поперечное электрическое поле должно удовлетворять следующему дифференциальному уравнению:

d2 j./dz + f (г)л =0.

(2.21) 39



Решение (2.21) найдем при нормированных граничных условиях [94]

(2.22)

de±/dz = F[\ = 0;

?j = f, = 0; dJdz==F\=l.

г=0 z=0

Учитывая, что Pi = P2=Po, из (2.18) получаем [95]

-f;-pgf, + iPo(f;-f,)

-;+po2+iPo(;+i)

(2.23)

где Ро - постоянная распространения волны Ню регулярного волновода.

Значения функций Fi,2 и их производные f 1,2, входящие в (2.23), вычисляются в сечении z=D. Локальную постоянную распространения y(z) волны квази-Ню на участке 0<z<D можно записать через эквивалентную проницаемость среды еэкв(2), воспользовавшись соотношением (2.8):

f{z)kle,Az)-i. (2.24)

где ko = 2n/X; Их=л;/а. Конкретный вид функции еэкв(2) зависит от ориентации диэлектрического цилиндра в волноводе и может быть найден с помощью волновода сравнения. При вертикальной поляризаций таким волноводом является регулярный прямоугольный волновод с диэлектрическим слоем, границы раздела которого параллельны вектору электрического поля волны Ню, а при горизонтальной поляризации - регулярный прямоугольный волновод с диэлектрическим слоем, границы раздела которого перпендикулярны вектору электрического поля волны Ню. Из элементарных геометрических соображений находим, что текущее значение ширины диэлектрического слоя h для любой ориентации цилиндра определяется выражением

Л () = DKl-(21-1)2; l = z/D. (2.25)

Теперь применим формулы для постоянных распространения частично заполненных прямоугольных волноводов. При вертикальной поляризации, используя результаты работы [96], находим конкретный вид еэкв(2):

еэкв(2) = е1 + (е2-

h(l) , 1 . nh<l) -Ш. --sm -

(2.26)

где 62, ei - проницаемости цилиндра и окружающей среды соответственно.

При горизонтальной поляризации, используя результаты работы [97], имеем

e, B(l) = ei+-(e2-ei),

(2.27)

где /г() вычисляется согласно (2.25). Следующий шаг -вычис-40

ение функций F,2 и их производных F1,2 в точке z=D. Полу-Ji?HTb строгое решение уравнения (2.26) с учетом (2.24) -(2.27) сложно из-за трансцендентного характера функций y(z). Поэтому целесообразно воспользоваться численным интегрированием уравнения (2.21), предварительно преобразовав его к эквивалентной системе двух дифференциальных уравнений вида (2.14). Граничные условия (2.22) переходят в соответствующие началь-;Ные условия для функций Wi и W2- Контроль за выполнением процедуры численного интегрирования удобно осуществлять с по-: М0Щью определителя Вронского, который для условий (2.22) равен единице. В рассмотренных ниже примерах для численного интегрирования использовался метод Рунге-Кутта четвертого по-;рядка. Во всех случаях отклонение вронскиана от единицы не превышало 10-10~*, что обеспечивает вполне достаточную точность в большинстве технических приложений.

Необходимо отметить, что переход к эквивалентным прони-цаемостям с одномерным распределением хотя и обладает простой физической наглядностью, однако не является вполне строгим. Несмотря на то, что граничные условия на проводящих поверхностях одинаковы для волновода сравнения и эквивалентного ему однородного волновода, распределения полей в поперечном сечении волноводов различны. Поэтому тип волны в эквивалентном однородном волноводе следует выбирать так, чтобы структура поля его была наиболее близкой к структуре поля основной волны, распространяющейся в неоднородном волноводе. Последнему требованию обычно удается удовлетворить, когда волны высших типов в неоднородном волноводе являются нераспространяющи-мися.

В связи с этим вопрос оценг' верности расчетных данных имеет принципиальное значение. Такую оценку можно получить путем сравнения этих данных с аналогичными данными, полученными другими более строгими методами или в результате экспериментальной проверки. Для сравнения воспользуемся данными, опубликованными в [91], где коэффициент отражения рассчитан строго по методу зеркальных отражений. На рис. 2.1 показаны зависимости модуля коэффициента отражения от величины диэлектрической проницаемости мате-

Рис. 2.1. Результаты расчета коэффициента отражения различными методами:

----метод зеркальных

отражений.----- метод эквивалентной диэлектрической проницаемости




риала цилиндра при к/а=1,7 и D/a=Q,Q5 и 0,1 для ei=l. Пунктирные линии соответствуют расчетным данным, полученым но описанной выше методике, сплошные - данным, заимствованным из [91]. Довольно близкое совпадение расчетных значений на-

блюдается и при сравнении с [93]. В целом имеет место удовлетворительное совпадение результатов при расчете разными методами. Некоторое расхождение значений 5ii при больших 62 обусловлено тем, что использованное в численном расчете выражение (2.26) для функций езкв(г) является приближенным и его точность уменьшается с ростом 62.

На частотах выше критической из-за сильной связи диэлектрического цилиндра с подцодящим волноводом трудно реализовать высокие значения нагруженной добротности системы в целом. Уменьшение связи с подводящей линией передачи и, следовательно, увеличение нагруженной добротности можно осуществить двумя способами.

1. Путем уменьшения диаметра диэлектрического цилиндра и одновременного увеличения относительной диэлектрической проницаемости материала, из которого он изготовлен. В пределе при достаточно малых размерах цилиндра и больших значениях проницаемости приходим к диэлектрическому резонатору. При этом можно приближенно полагать, что стенки волновода оказывают небольшое возмущающее влияние на поля диэлектрического резонатора. Анализ для такого случая сделан, например, в [21, 70, 101].

2. Путем уменьшения поперечных размеров волновода, в результате чего на частоте ниже критической образуются участки с нераспространяющимися волнами (запредельный режим), а в области диэлектрической неоднородности сохраняются распространяющиеся волны.

На основе волноводно-диэлектрических структур с запредельной связью можно создать резонансные элементы с весьма большой нагруженной добротностью [57, 58]. Рассмотрим волноводно-диэлектрический резонатор в виде диэлектрического цилиндра в запредельном волноводе, возбуждаемого прямоугольным волноводом с распространяющейся волной Н,о (рис. 2.2). При его анализе используем те же предположения, что и в случае плоского диэлектрического слоя (§ 1.1). Единственное отличие будет состоять в том, что распределение полей в продольном направлении в области диэлектрического цилиндра будем описывать с помощью ранее введенных функций. С учетом сделанных замечаний результирующее электрическое поле Еу запишем в следующем виде:

ехр [-i (2+h)]+АшФт ехр [i (2 + h)], z<-h; У [5+ехр (- г) + fi;r ехр ( pi г)], -k<z<0-

I; [Ct Ф + {X, 2)+СГ Ф (;c, 2)1, О < 2 <

(2.28)

ft=i

ф^ {Dt exp [ -p (2 -1,)] + D- exp [ p (2-1,)]), P=i

5; Ф^ Et exp [ - i pf {z-l-l,)], l, + l,< 2, 117=1

где Фк(х, z), ф ~ (x, z) - функции распределения волн квази-Ноь на участке волновода с диэлектрическим цилиндром; /2=/) -диаметр цилиндра.

Из условия непрерывности Еу и dEy/dz в сечениях z=-lu z=Q, z=D, z=D + l3 приходим к системе алгебраических уравнений, аналогичной системе (1.2):

,Ф^+2Ф^ = 2 n[Btexp{Ui)+Bnexp{-My

т=1 л=1

2 Ф {Bt + = 2 [Ct Фi+ {X, 0) + с, Ф^- ix, 0)1; 1=1 fc=i

f,fi.ф'n{-вt+в-)Y[ct{Фi+{x, 0))Ч

11=1 ft=l

+С1(ф1-{х, 0)];

2 [Ct Ф + (X, D) + а Ф{- (х, D)] = V ф^ (D+ + D-);

2 [Ct (ф1+ {X, 0)У + сг {ф^t {X, D)) Y,J<J{-Dt + D-);

Ь<1

S Ф^J[Dtxp{-JQ + D-exp{JQ]==Y.ФUt

<?=1

5; Р^ Ф^ [ - ехр (- р^ Q + D- ехр (J Q] =

(2.29)



1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23