Матрица коэффициентов в общем виде является диагонально-ленточной и имеет следующие особенности: 1) главная диагональ состоит из коэффициентов d, кроме клеток 11 и kk, которые состоят из коэффициентов z; 2) каждая строка матрицы состоит из последовательности коэффициентов с, е, d и для 1-й и k-u строк - е, с, z:

k столбцов

е с

э< о

е d е с

с е d е

О О

с О

е с

d е

ООО

ООО ООО ООО

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

е d е с е Z

причем коэффициенты матрицы: z = -ctge (g + §з + ё\г)< = = собесе(212+§з); c = ctgeg3; d =-cigQ(2gs+ 2g).

Проводимости определяются из работы [31]: gii = 0,5(g+ +

gz = gn + ~ где g и -характеристические проводимости четного и нечетного типов колебаний одинаковых связанных линий.-

Щелевая линия. Структура поля в ЩЛ имеет эллиптически поляризованные области, характерные для волны TEi [66]. Допущение квазипоперечной Т-волны в ней дает гораздо большие ошибки, чем для МПЛ. В результате дисперсия в ЩЛ выражена сильнее, чем в МПЛ, и ее волновое сопротивление зависит от частоты, особенно при больших значениях wlh. Например, волновое сопротивление 70-омной линии в диапазоне частот 2,5...4 ГГц увеличивается примерно на 3 % [66]. Однако для расчета волнового сопротивления можно применять известную для квази Т-волны формулу z = 1/ (иС), где С - электростатическая емкость линии

8 Kk)

k-th

V - скорость распространения волны в линии [22]

Тогда

Zo = (553КГТ~е/е) [К(к)/К' (к)].

где е - относительная диэлектрическая проницаемость подложки; K(k); К'(k) -полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода; 8о - диэлектрическая проницаемость свободного пространства; Л - длина распространяющейся в линии волны. Точность этих формул около 30% [23]. На рис. 1.5, а показан график зависимости волнового сопротивления Zg и обратного коэффициента укорочения 1/Д'у от /гДо при е = 9,6 и при различном s/Kg, а на рис. 1.5,6 -

зависимость \/Ку от s/h при е=16 для различных частот [125]. Точность этих графиков 2 %.

Для расчетов с использованием ЭВМ более удобны приближенные аналитические выражения. Они также имеют точность 2 % [125] для е = 9,6...20; 0,02 < s/h < 1; 0,01 < /гА < где h/K равно

частоте отсечки для волны ТЕщ ЩЛ, т. е. h/Xo = 0.25 Vе-\.

При 0,02<s i <0,2

1 Су=Л/Яо =0,923-

- 0,448 lge + 0,2s i -

- (0,29s i 4-0,047) X

X Ig(/iAolOO);

Zo = 72,62-35,19 Ig 8-f , СЛ is/h - 0,02) (s/ft-0.1) ,

+ Ig(100s i) [44,28 -

Zq.Om

Рис 1.5. Зависимость волнового сопротивления (штриховые линии и обратного коэффициента укорочения (сплошные линии) для ЩЛ от ЛЛо для различных s/X (а) и зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от s/h (б)

- 19,58 Igel- [0,32 Ige -0,11 -f s/ft (1,07 Ige-f 1,44)](11,4--6,07 Ig8-/iAolOO)-.

При 0,2<s/ft<l

\/Ky = A/X, = 0,987 - 0,483 Ige + s/h (0,111 -0,00228) -- (0,121 +0,094s/ft -0,0032e)Ig(ftAa 100); Zo = 113,19 - - 53,55 Ig e -f 1,25 (s/h) (114,59 - 51,88 Ige) + 20 {s/h - 0,2) (1 - -s/h) - [0,15 + 0,23 Ige + (s/h) (-0,79 + 2,07 Ige)] [(10,25-

- 5 Ig e + (s/h) (2,1-1,42 Ig e) - h/K 100)]. Точность используемых для аппрокс имации графиков для Ку > > 2 %, для Zo ~ 30 %. Для анализа потерь в ЩЛ используют при-ближейный метод, аналогичный методу для исследования потерь в линиях передач [181. Потери, обусловленные неидеальностью проводящих плоскостей линии передачи.

87,77го \6п j 15

(1.8)

где Ps - поверхностное сопротивление проводников; - бесконечно малое приращение волнового сопротивления, обусловленное бесконечно малым равномерным уменьшением размера бп всех проводников в направлении, перпендикулярном к их поверхностям; бэф -эффективная диэлектрическая проницаемость.

Учитывая приращение волнового сопротивления ЩЛ Ьхщ и используя выражение (1.8), получаем

(1.9)

где 5щ и Л -ширина щели и толщина диэлектрической подложки ЩЛ.

С помощью соотношений (1.8) и (1.9) запишем аналитические выражения для вычисления потерь в проводниках ЩЛ: при 0,02<s i< 0,2

п. щ = Ps (К^/2ш) [l/ft (-2,9 + 1,3 Ig е + 2,2 lg е - 0,9 Ig e) + + (5щ/Л') (-1,6 + 0,7 Ige + 1,1 Ig2 e -0,45 Ige) + (1 До) (78,8 + + 6,1 lge-25,5 \g4)-d/%l (358,4 + 173,4 Ige) + (s/X) (123,7 lge+

+ 166,5) -0,002ft/sg,+ l/Sn, (0,45 - 0,19 lge)l; при 0,2<5/Л< 1

Фп,щ = Ps {\ф/гщ) [l/h (5,7 - 8,5 Ige + 5,7 Ig e - 1,3 lg e -- Su, i (-3,4 + 10,2 ig e - 8,2 Ig2 e + 2 Ig* e) - 5Л* (-0,6 + + 41ge-3,71g2e+ lg e)+ lAo (-39,5+ 113,8 ige+ 46,7 lg28) + + Зщ/НХо (-15,3 + 50,5 ig e - 27.1 Ig e)-hfkl (-217,4 +

+ 425,4 Ig e) + s/ho (-3,8 + 12,7 Ig e - 6 Ig e) + ЗщЩ (-91,4 + + 239 Ig e) - s2, i* (-0,13 + 0,48 ig e - 0,48 Ig e + 0,14 ig* e)].

При расчете потерь поверхностное сопротивление для меди р^ = = 8,25 . 10-YT> где / = 10 ГГц; Л = 1 мм; е = 9,8. Зависимость потерь в проводниках от толщины диэлектрической подложки показана на рис. 1.6, а. Наибольшее влияние на потери оказывает щирина щели: при уменьшении ширины щели потери возрастают; величина потерь в проводниках ЩЛ слабо зависит от толщины подложки.

Для определения диэлектрических потерь в ЩЛ используют понятие эффективной диэлектрической проницаемости [66, 1251. Это характерно для исследования квази Т-волны в микроэлектронных линиях с неоднородным заполнением: еэф = Ус/Уф, где Vc - скорость света; Уф - фазовая скорость волны в данной линнн. Тангенс эффективных диэлектрических потерь

Затухание в диэлектрике

27.3 Vb..

эф

tg6зф.

Для щелевой линии при 0,02 <s i< 0,2

д. щ = 10,56 tg Ь/[Хо {(0,923 - 0,448 Ig е + 0,2s/h - - (0,29s/A + 0,047) Ig (Л/о 10)11; при 0,2<s t<l д. щ = 11,38 tg 6f{ko [0,987 - 0,483 Ig е + s/h (0,111 - 0,0022е) - - (0,121 + 0,094ш 1 - 0,0032е) Ig (h/ko ЮО)]).

с/ ,дВ/см

6 h,MM

R,0M-cti

Рис. 1.6. Зависимость потерь в проводниках ЩЛ от толщины диэлектрической подложки для различной ширины щели (а) и зависимость потерь ЩЛ от удельного сопротивления подложки (б)

Зависимость диэлектрических потерь в ЩЛ от удельного сопротивления подложки на частоте 4 ГГц показана на рис. 1.6,6. Щелевая линия имеет небольшое излучение. Для е = 16 при частоте 3 ГГц поле на расстоянии 2,54 см от центра щели ослаблено на 28,4 дБ. Ранее предполагалось, что толщина металлических проводников нулевая. Однако коэффициент укорочения длины волны в ЩЛ уменьшается при увеличении t. Например, относительная фазовая постоянная на частоте t = 3 ГГц при t/w = О равна 2,53; при tlw = 0,04 равна 2,49; при t/w = 0,1 равна 2,44.

Копланарная линия экранированного типа изображена на рис. 1.1, в. Волновое сопротивление КЛ зависит от толщины Л, если Л < 2s. В отличие от ЩЛ КЛ характеризуется квази Т-волной, поэтому для анализа справедливо квазистатическое приближение, которое используется для определения волнового сопротивления [231:

2o = 1/(ифС),

где емкость на единицу длины

С=(е + 1)ео[2ш/(25 + ш)].

В работе [22] дано следующее выражение:

z,V7+T= 133,2;С' (k)/K(k). (1 + 2s/w)-K

На рис. 1.7, а показана зависимость z от а'/Ь = [wl (2s + w)] при различных Б. КЛ не имеет нижнего частотного предела и может работать вплоть до постоянного тока. СВЧ электрическое поле между центральным проводником и заземленными пластинами является тангенциальным к границе воздух - диэлектрик и создает разрывы в распределении тока на поверхности, а это приводит к росту осевой и поперечной составляющих СВЧ магнитного поля. Появление осевой составляющей обусловливает эллиптическую поляризацию поля ТЕ на поверхности подложки, что используется для создания невзаимных устройств. Для подложек с большой относительной диэлектрической проницаемостью поляризация поля ТЕ близка к кру-

Рис. 1.7. Зависимость волнового сопротивления КЛ от а/Ь (или s и W) (а) и зависимость затухания КЛ от удельного сопротивления подложки (б)

12 8 4

О О,} 0,2 0,3 0,f 0,5 albl(2s*vi)

а

500 R,Om-CM

говой, а плоскость поляризации перпендикулярна к поверхности подложки [66].

Коэффициент укорочения длины волны в КЛ

АГу = = [(е + 1)/2 (0,56/а)1/2]1/2.

Для расчетов с помощью ЭВМ целесообразнее пользоваться более точным аналитическим выражением для волнового сопротивления КЛ:

2о = 0,5K2i;ceo[(0,5&/a)i/2(l + г)1 К (т)/К(т),

где а/Ь = w/{2s + w); т-= (а/Ь).

Для 8 10,4 при а/Ь = 0,55 = .50 Ом и совпадает со значением, полученным в работе [22], и экспериментом при а/Ь = 0,7. Рассчитанное значение г„ на 5 Ом выше, чем в работе [22], но совпадает с экспериментом, а при а/Ь = 0,4 значение 2 на 5 Ом ниже, чем в работе [22], и также совпадает с экспериментом.

Потери в диэлектрике для КЛ [181

д. к = 27,Зе tg 8/К [2 (0.5b/a)V2]i/2 (g + i)i/2. 18

Зависимость диэлектрических потерь в КЛ от удельного сопротивления подложки показана на рис. 1.7, б.

Высокодобротная линия (ВДЛ). Можно с достаточной для инженерной практики точностью считать, что в ВДЛ распространяется квазипоперечная Т-волна. Потери в ВДЛ (см. рис. 1.1, д) больше, чем в воздушной симметричной линии (ВСЛ) (см. рис. 1.1, ж) вследствие того, что примыкающая к полоскам область диэлектрика имеет высокую напряженность поля. Волновое сопротивление ВДЛ [231

Z, = и29,976л (1 - h/b) / [vw/b + 0,44 (1 - h/Ь) - а/п],

где а = (1 - h/b) In (1 - h/Ь) + {h/Ь) In {h/Ь); v - скорость распространения волны в линии. Это выражение справедливо при ограничениях w/1i> 0,35; {w/b) / (1 - h/Ь) > 0,35. Коэффициент укорочения длины волны Ку = v/Vc уменьшается с увеличением отношения w/b и почти не зависит от величины относительной диэлектрической проницаемости подложки -[231.

ПолеЕ

ПолеН

Рис. 1.8. Структура поля волны ТЕщ открытого микроволновода {а), окна в полосковом проводнике для подавления квази Т-волны в открытом М1[кро-волноводе (б) и топология переходов от МПЛ к открытому микроволноводу (в)

Воздушная симметричная линия (ВСЛ) характерна тем, что в качестве диэлектрика в ней используется воздух. Отсутствие твердого диэлектрика значительно повышает добротность линии и позволяет применять ее в СВЧ фильтрах с крутыми скатами, узкой полосой и малыми потерями. Волновое сопротивление такой линии определяется для t/b < 0,2 по следующей формуле, точность которой 2 % при w/b > 1,5 и 6 % при w/b > 0,75 23):

z =: 29,97л In [(1 + w/b) / {w/b + t/b)].

Укорочения волны в такой линии не наблюдается. Открытый микроволновод (MB) по внешнему виду напоминает МПЛ с той лишь разницей, что ширина полоскового проводника