+ 1 ~i(*lit *2А:) (2.6)

Как видим, на каждом шаге необходимо вычислять только значения функщ1Й по известным значениям переменных. В этой простоте вычислений состоит достоинство метода простой итерации.

Алгоритм Ныотона-Рафсона уточнения корня функционального уравнения F(x)=0 производится также на ряде последовательных шагов. Пусть на к-м шаге получено значение корня х/. Для получения следующего уточненного значения корня i разлагают F(x) в ряд Тейлора, в котором ограничиваются линейными членами, и получают

(х,) F(x,)+F(x,)hi, (2>)

гдеЛ;. =JC;fc + i - х^- приращение переменной.

Если уточненное значение корня принять близким к истинному, обращающим в нуль (2.7), то приближенное значение искомого приращения корня

= (2.8)

равно отношению функции к ее производной в конце предьщущего шага. Новое уточненное значение корня

k.l=kh=k-P(k)IP(4)- (2-9)

Вычисления по этому выражению проводятся до тех пор, пока приращение не станет меньше некоторого малого предписанного значения. Здесь требуется вычислять не только значение функции, но также значение ее производной.

Геометрическая иллюстрация метода Ньютона-Рафсона приведена на рис. 2.2, б. Касательная к F(x) в точке Xj, которой представляется функция согласно учету линейных слагаемых ряда Тейлора, пересекает ось л: в точке JCjt+l Разность + 1jt ~it Д^ поправку. Пересечение касательной в точке * функции F(x) с осью х дает новое уточненное значение корня, если процесс уточнения сходится.

Для обеспечения сходимости уточнения необходим выбор начального приближения достаточно близким к точному значению корня.

Следует отметить, что метод Ньютона-Рафсона обеспечивает более быструю сходимость, чем метод простой итерации.

Алгоритм Ньютона-Рафсона можно также обобщить для системы функциональных уравнений. В случае системы двух уравнений вида (2.5) уточненные корни обращают в нуль линейные приближения функций; согласно разложению в ряд Тейлора имеем

h..- +h-, - =0;

(2.10)

2k- =0.

Здесь dFjic/dxi - значения функций и их производных при

Xi= Xif,HX2 = Х2к-

Поправки к значениям корней на каждом шаге определяются из решения систем линейных уравнений вида (2.10).

Наиболее эффективно применение алгоритма Ньютона-Рафсона в случае одного функционального уравнения или системы небольшого числа уравнений. Но при большом числе уравнений возникают трудности из-за необходимости на каждом шаге итерации вычислять частных производных и обращать матрицу размерности л X и. Условия сходимости также существенно усложняются.

2.3. УРАВНЕНИЯ УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ

Уравнения узловых напряжений составляются для цепей, элементами которых являются: источники тока; двухполюсные резистивные элементы с монотонными характеристиками; двухполюсные элементы с немонотонными характеристиками; двухполюсные элементы с немонотонными характеристиками типа N, управляемые напряжением; зависимые источники тока, управляемые напряжением (ИТУН). Зависимые источники других типов следует преобразовать в ИТУН.

Переменными в методе узловых уравнений являются напряжения п=Пу-1 узлов по отношению к базисному узлу ( у - общее число узлов). За базисный желательно принимать узел, в который сходится наибольшее число нелинейных элементов.

Узловые уравнения, как и любая другая система уравнений, составляются на основе уравнений элементов и уравнений соединений цепи.

Уравнения двухполюсных нелинейных и линейных элементов:

* * (2.11)

где - проводимость элемента /.

Уравнение зависимого источника тока, управляемого напряжением Uij между узпами г и /, имеет вид

im=gu.j, (2.12)

где - управляющий параметр.

Уравнения соединений составляются по законам Кирхгофа. На основании закона напряжений выразим напряжения всех ветвей через разность напряжений узлов, между которыми включена ветвь к:

M= f- /. (2.13)

При этом уравнения двухполюсных элементов (2.11) примут вид

i,-G,(uy-uJ), (2.14)

а уравнение зависимого источника тока (2.12) - вид

im=gm(uj ~иГ). (2.15)

Основную систему уравнений составляем по закону токов Кирхгофа, применяя его к каждому независимому узлу. Суммируя токи всех присоединенных к независимому узлу ветвей: двухполюсных, зависимых и независимых источников тока, получим

Si + 2f, +S/ = Si (2.16)

hi т q

где iQq - токи независимых источников тока.

Искомые узловые уравнения получаются, если во всех Пу - \ уравнениях вида (2.16) заменить токи выражениями их (2.14) и (2.15) через узловые напряжения.

Рассмотрим пример. Составим узловые уравнения цепи (рис. 2.3), подключенной к источнику тока и содержащей два линейных алемента с проводимостями Gi = 2, G3 = 1; два нелинейных сопротивления с характеристиками

и один зависимый источник тока, управляемый током ветви 1,

Приняв нижний узел за базисный, имеем три независимых узла: /, 2, Напряжения ветвей выражаются через напряжения узлов следующим образом: