Главная  Нелинейные электрические цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

определяется однозначно напряжениями остальных элементов С-кон-тура. Число таких зависимостей будет равно числу независимых емкостных контуров.

Аналогично, если в цепи имеется так называемое индуктивное сечение (рис. 3.1,6), составленное только из индуктивных элементов и источников тока, то сумма токов в нем равна нулю, гак что невозможно задавать произвольные начальные токи во всех индуктивностях: ток одной из них будет определяться однозначно токами остальных элементов. Число подобных зависимостей равно числу независимых индуктивных сечений .

Следовательно, порядок цепи, определяемый числом независимо задаваемых начальных условий, равен числу индуктивных и емкостных элементов за вычетом числа независимых С-конгуров и £-сечений:

и = и^ + . - (и^ + ир. (3.1)

Для выявления независимых С-контуров следует разомкнуть (удалить) все ветви цепи кроме емкостных ветвей и источников напряжения, а для выявления i-сечений - замкнуть накоротко все ветви кроме индуктивных ветвей и источников тока.

В качестве примера определим порядок цепи, показанной на рис. 3.1, в и содержащей три емкости и три индуктивности, а также резистивные элементы и источники. Для данной относительно простой схемы можно сразу установить, что она содержит один емкостный контур и одно индуктивное сечение, которые отмечены на схеме. Порядок цепи согласно (3.1) и = 3 + 3 - (1 1) = 4.

Выражение (3.1) дает максимальный порядок, который для некоторых переменных в результате сокращений при определенных численных соотношениях элементов может оказаться меньшим. Наличие в цепи зависимых источников при некоторых включениях как самих источников, так и их управляющих выводов может также приводить к снижению порядка цепи. К сожалению, дать общее простое правило оценки порядка здесь затруднительно, все зависит от конкретной схемы.

Система дифференциальных уравнений, описьшающая поведение цепи, зависит от выбора переменньгх. Для нелинейных динамических цепей наиболее удобными переменными являются напряжения или заряды емкостных и токи или потокосцепления индуктивных ветвей, которые приводят к так называемым уравнениям состояния.

Уравнения состояния представляют собой систему дифференциальных уравнений в нормальной форме (форме Коши), состоящую из уравнений первого порядка, разрешенных относительно первых производных: в левой части уравнений имеем первые производные от каждой переменной, а в правой - функции переменных состояния и приложенных к цепи сигналов. Эта форма уравнений является основной, наиболее эффективной формой описания нелинейных динамиче-



ских цепей, что объясняется следующилт обстоятельствалт: 1) сведение системы уравнений, записанных относительно узловых напряжений или контурных токов, к одному уравнению для выбранной переменной связано с большими трудностями и не всегда возможно; 2) переменным состояния можно придать очень полезную геометрическую наглядность, рассматривая их как координатные оси в и-мерном пространстве состояний; решение уравнений состояния будет представляться траекторией изображающей точки в этом пространстве, а проекции этой точки на оси координат будут значениями каждой переменной состояния; 3) алгоритмы численного анализа нелинейных цепей записываются для систем дифференциальных уравнений в нормальной форме; 4) независимые начальные условия задаются, как отмечалось, в виде зарядов (напряжений) емкостей и потокосцеплений (токов) индуктивностей, и поэтому отпадает необходимость в определении зависимых начальных условий.

Следует сразу же отметить, что в общем случае цепей, содержащих нелинейные элементы с идеализированными произвольными немонотонными характеристиками, управляемые источники различных типов, а также емкостные контуры и индуктивные сечения, составление уравнений состояния связано с большими трудностями. В некоторых особых случаях задания характеристик элементов или численных значений параметров может не существовать система уравнений состояния цепи.

Мы рассмотрим уравнения состояния, исключая упомянутые особые случаи, в предположении следующих допущений: 1) в цепи отсутствуют контуры из источников напряжения - независимых и зависимых -и сечения из независимых и зависимых источников тока; 2) в цепи отсутствуют емкостные контуры и индуктивные сечения; 3) характеристики нелинейных элементов заданы однозначными зависимостями (функциями). При указанных допущениях уравнения состояния можно составить на основе излагаемого далее понятия нормального дерева. Более общий подход состоит в выделении линейной резистивной подцепи и привлечении гибридного метода, изложенного в главе 2.

3.2. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

Выбор переменных состояния зависит от вида характеристик емкостных и индуктивных элементов. Если заданные характеристики С ч L элементов q(u) и ф(г) немонотонны, а управляются соответственно напряжением и током, то в качестве переменных состояния следует принимать напряжение мс и ток ii, так как обращение характеристик приводит к многозначным функциям.



Если же немонотонные характеристики заданы в виде u{q) и i () ), т. е. управляются зарядом и потокосцеплением соответственно, то за переменные состояния нужно принимать заряды емкостей и потокосцепления индуктивностей.

В случае же строго монотонных характеристик реактивных элементов за переменные состояния можно принимать как заряды и погокосцепления, так и напряжения емкостей и токи индуктивностей. С точки зрения численных методов решения уравнений состояния предпочтение следует отдавать заряду и потокосцеплению .

Как и любая система уравнений, описьшающая поведение цепи, уравнения состояния с выбранными переменными - зарядами или напряжениями емкостей и потокосцеплениями или токами индуктивностей - составляются на основе: 1) уравнений элементов и 2) уравнений соединений (топологических уравнений).

Уравнения элементов. Характеристики нелинейных элементов могут быть заданы в виде анапитических функций следующих видов:

R r =fR(R)

q=fc(Uc); Uc=f-{q); (3.2)

Уравнения соединений. Для получения уравнений состояния с переменными - напряжениями (зарядами) емкостей и токами (потокосцеплениями) индуктивностей - запись топологических уравнений цепи производят на основе следующего алгоритма:

1. Составляют так называемое нормальное дерево, ветвями которого являются источники напряжения и емкостные ветви, а также резистивные ветви, характеристики которых управляются напряжениями. Хордами должны быть индуктивные ветви и источники тока, а также остальные, не вошедшие в дерево резистивные ветви.

2. Для каждой ветви дерева намечают главное сечение и, применяя закон токов Кирхгофа к каждому главному сечению, выражают токи всех ветвей дерева через токи хорд. Число таких уравнений будет равно чиспу главных сечений, т. е. числу ветвей дерева в.д = Иу - 1 (Иу -число узпов). Основными из них являются уравнения для токов емкостных ветвей.

3. Для каждой хорды намечают главный конт}ф и для каждого главного контура по закону напряжений Кирхгофа записывают напряжения ветвей дерева. Число таких уравнений будет равно числу главных контуров, т. е. числу хорд п^ = п^ - Пу + \ (п^ - числов всех ветвей). Основными из них являются уравнения для напряжений индуктивных ветвей.

4. Приняв в качестве исходных выражения для токов емкостных ветвей дерева и для напряжений индуктивных хорд, с помощью уравнений остальных элементов исключают из них токи и напряжения всех



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85