О) i

-и О

Рис. 3.5

ри; 3) трансформаторная цепь обратной связи в виде взаимной индуктивности М, связывающей катущку колебательного контура с сеткой триода. Будем пренебрегать током сетки триода. На рис. 3.5, б показана схема замещения генератора, на которой индуктивная связь учтена зависимым источником ИНУТ в цепи сетки с напряжением м i = - pMii, а триод - зависимым источником тока с током /2 =/(wi), управляемым напряжением сетки. Ток этого источника (ток анода I2) управляется нелинейной функцией, представляющей собой анодно-сеточную характеристику триода. Вид этой характеристики при пренебрежении влиянием анодного напряжения показан на рис. 3.5, в.

Запищем уравнения равновесия токов в верхнем узле и равновесия напряжений в колебательном контуре (р = dfdt): pCu+ij +i2 = рСи^ +f(.ui) = 0; pLij - =0.

Исключив из этих выражений мс и заменив ток в индуктивности il = - Ml/(р Л/), получим уравнение для напряжения сетки

(LCp +pRC+ 1)м, - pMfiui) = 0.

После замены оператора дифференцирования имеем

+ \RC-M,f(ui)]

dUj

+ Ui = 0.

Перепищем уравнение^ введя нормированное время т = соо? =

= f/VLC, где СОо = \I\/LC - резонансная частота колебательного контура:

- +coo[C-M/(Mi)]

-H M1 = 0.

(3.17)

Окончательный вид уравнения будет зависеть от приближенного аналитического представления анодно-сеточной характеристики. Применяют аппроксимацию полиномом п-к степени или кусочно-линейное представление.

Если применить представление характеристики с помощью полинома третьего порядка

i2 = /( i) =a+5Mi-5i (5, 5,>0),

то производная / ( О = S - 3S\. Здесь параметр S i определяет степень нелинейности характеристики.

Уравнение для напряжения сетки в этом случае

-т- +o:,o(.RC-MS+ 3MSiu])-+mi = 0. (3.18)

dr dr

Обозначим

li = ojo(MS-RC); b = 3MSiu>o/ii (3.18a)

и перепишем уравнение

--ц(1-Ьи)-- +м, = 0.

dr dr

Умножив уравнение на л/й^ произведем нормирование амплитуды напряжения:

л/Ь~и =х; х = м/\/ь7

В результате получим нормированное уравнение для напряжения сетки лампового генератора (уравнение Ван-дер-Поля)

dx . dx

, -At(l-x)- +х = 0. (3.19)

dr dr

Здесь ju - коэффициент перед нелинейным множителем - зависит от разности между произведением крутизны S лампы на линейном участке характеристики и взаимной индуктивности, осуществляющей обратную связь, и значением RC.

3.3. о РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ

В предьщущем параграфе показано, что для анализа нелинейных цепей необходимо решить систему нелинейных уравнений состояния

x = f(x. О- (3.20)

Время в правой части обусловлено воздействием внешнего источника переменного сигнала. Такие уравнения, а также сами цепи, находящиеся под воздействием переменных сигналов, называют неавтономными.

уравнения, не содержащие в явном виде времени, x=f(x), (3.21)

а также сами цепи без источников переменного сигнала называют автономными. Источники постоянного сигнала могут входить в автономные цепи.

Методов точного аналитического рещения дифференциальных уравнений, даже простейщих уравнений первого порядка не существует.

Основным методом рещения является численный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений с применением вычислительных мащин. Метод требует численного задания параметров и характеристик всех элементов цепи. Результаты численного анализа дают очень много для суждения о реакциях конкретной цепи. Но получить общую картину процессов, выявить влияние некоторых параметров и характеристик на вид реакций, установить возможность особых явлений, присущих нелинейным объектам, с помощью численных методов затруднительно.

Численным методам посвящена общирная литература [38], и мы не будем приводить изложение существующих различных алгоритмов численного анализа. Приведем лишь один из простейших алгоритмов - неявный алгоритм Эйлера для того, чтобы изложить суть анализа динамических цепей по дискретным моделям емкостных и индуктивных элементов. Алгоритм Эйлера, как и любой другой алгоритм численного решения дифференциального уравнения х =f{x, t), основан на разбиении времени на равные малые интервалы At=h и последовательном вычислении значений решения на каждом интервале или шаге. В неявном алгоритме Эйлера используется приближенное представление производной на {к + 1)-м шаге:

х = (Хк1-Хк)1 =/(jfc + i. fjfc + i); отсюда

jfc+l=jfc+/(Jfc.l fjfc.l)- (3.22)

Применение этого алгоритма к уравнениям реактивных элементов позволяет получить их дискретные модели.

Уравнение емкостного элементам = i/C(u), где С(ы) = dq(u)ldu -динамическая емкость.

Для дискретного момента f = ffc + i его можно записать в виде разностного уравнения

jfc+1 = jfc+ fe+l/( jfc + l); отсюда

C( jfc + l)

fc+l =---( jfc+l - jfc) =41 (3.23)

3-1056 65