Главная  Нелинейные электрические цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

где Sk + i~0*k+l - (~ */ * + l) ~ эквивалентаая нелинейная h

проводимость на {к+1)-м шаге, зависяшая от напряжения на этом же шаге.

Как следует из (3.23), нелинейная емкость при численном анализе на каждом шаге может быть представлена как нелинейный резистивный элемент с проводимостью + 1- На рис. 3.6, а изображена схема замещения емкостного элемента на {к+1)-м шаге, состоящая из нелинейной проводимости g/c + l-

Уравнение индуктивного элемента

di и

L (I)

где L (i) - динамическая индуктивность. Для дискретного момента t = t/ci его можно согласно (3.22) записать в виде разностного уравнения

(3.24)

где jt-bl ~ (it-bl ( ~jfc/it-bl- ~ эквивалентное нелинейное

сопротивление на {к + 1)-м шаге, зависящее от тока.

Из (3.24) видно, что нелинейную индуктивность при численном анализе можно представлять на каждом шаге нелинейным резистивным элементом с сопротивлением jt + i. На рис. 3.6, б приведена схема замещения индуктивного элемента на {к + 1)-м шаге, состоящая из нелинейного сопротивления rj + i-

Приведенные дискретные модели реактивных элементов получены с помощью простейшего неявного алгоритма Эйлера. Можно по-

а) + и,

1

/ \

Т

Рис. 3.6

1я+)



лучить более точные модели элементов, если применять неявные алгоритмы высокого порядка - трапецеидальный или Гира [38].

При численном анализе цепи каждый реактивный элемент заменяется приведенными схемами. В результате получается нелинейная резистивная дискретная модель динамической цепи. Вычисления должны проводиться последовательно от шага к шагу; при этом на каждом шаге необходимо проводить анализ нелинейной резистивной цепи с использованием рассмотренного в главе 2 алгоритма Ньютона-Рафсона и основанных на нем линеаризованных дискретных моделей. Дискретные модели позволяют избежать трудоемкой процедуры составления уравнений состояния сложных динамических цепей.

Наряду с количественным анализом большое значение имеют качественные методы исследования нелинейных цепей. Качественный анализ должен без решения уравнений установить наиболее важные свойства цепи и явления в ней, а также влияние на них характеристик отдельных элементов. Особый интерес представляют условия возникновения колебаний, скачков токов и напряжений, влияние начальных условий на характер процессов и т. д.

Качественное исследование применяется в основном для автономных цепей и систем - без внешнего переменного сигнала. При этом важную роль играют состояния, или точки, равновесия, представляющие собой те значения переменных, при которых все производные уравнений состояния обращаются в нуль dXifdt=0. Следовательно, точки равновесия являются корнями системы функциональных уравнений, получающихся приравниванием нулю правых частей уравнений состояния:

f(x)=0. (3.25)

Равенству производных нулю соответствует разрыв емкостей и короткое замыкание индуктивностей, так что постоянные напряжения на вьгоодах разомкнутых емкостей и постоянные токи короткозамкнутых выводов индуктивностей и являются состояниями равновесия. Последние представляют, таким образом, конечные или установившиеся значения переменных состояния автономной цепи при f °°.

3.4. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Процессы в автономных цепях первого порядка, описьгоаемых уравнением х =f(x), можно достаточно полно исследовать на основе качественного анализа по виду правой части уравнений f(x), не прибегая к количественному решению. Качественный анализ позволяет выявить наиболее важные свойства процессов в цепи, такие как: параметры установившихся состояний при любых начальных условиях,



возможность появления незатухающих колебаний, максимальные токи и напряжения элементов и т. п.

Правая часть f{x) уравнения состояния цепи первого порядка с одним запасающим энергию элементом - емкостью или индуктивностью - имеет смысл входной переменной резистивной подцепи со стороны вьгоодов реактивного элемента. Если последний является емкостью с напряжением U(. = x, представляющим собой переменную состояния, то ее ток i(. = Cuc= - igx = Cf (и с) ; правая часть уравнения f(x) =f(U() пропорциональна входному току, т. е. входной характеристике i(u) резистивной подцепи с обратным знаком. Если реактивный элемент является индуктивностью с током i ~ х в качестве переменной состояния, го ее напряжение = Li[ = - Мвх -i/O/,); правая часть уравнения/(лг) =f(ii) пропорциональна входному напряжению, т. е. входной характеристике и (i) резистивной подцепи с переменой знака.

Качественное исследование проводится по графику правой части f(x) уравнения состояния, г. е. обращенной по знаку входной характеристике резистивной подцепи, построенной в зависимости от переменной состояния X Заключение о характере решения, или, как говорят, движения изображающей точки на графике, можно делать : 1) по числу и виду точек равновесия, в которых f (х) = О, т. е. точек пересечения графиком оси х; 2) по знаку f(x) = dx/dt: при f(x) >0 (верхняя полуплоскость) - движение точки слева направо; при f(x) < О (нижняя полуплоскость) - движение справа налево; 3) по условию непрерывности заряда (напряжения) на емкости и потокосцепления (тока) в индуктивности, представляющих собой переменные состояния.

Приведенные соображения позволяют легко установить устойчивость или неустойчивость особых точек, а также указать характер изменения переменных состояния при любых начальных условиях.

Наибольший интерес представляют процессы в цепях первого порядка, у которых входная характеристика резистивной подцепи, т. е. функция f (.х), имеет немонотонный вид.

Рассмотрим сначала случай, когда немонотонная вольт-амперная характеристика резистивной подцепи является однозначной функцией переменной состояния: управляется напряжением, если цепь содержит емкость, и током, если цепь содержит индуктивность. Подобную цепь можно получить, например, присоединяя параллельно к емкости туннельный диод со смещением.

Будем далее для общности полагать, что немонотонная характеристика резистивной подцепи имеет несколько спадающих участков и соответственно этому несколько состояний равновесия - точек, в которых скорость изменения переменной состояния равна нулю.

На рис. 3.7, а показан график правой части /(х) с четырьмя точками равновесия X,-. На основе приведенных выше соображений легко установить устойчивость или неустойчивость особых точек. Точки X i



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85