если для любой малой величины е>0 существует такое 5(e), что для всякого другого решения x(t), для которого \х(1о) -х*{1) \ <8, при t>to выполняется условие \x{t) - x*{t)\< ё.

Вводят также понятие орбитной устойчивости применительно к замкнутой фазовой траектории, которая представляет периодическое решение. Периодическое решение x=x*{t) орбитно устойчиво, если для любого е > О существует такое 5 (е) > О, что для всякого другого решения x=x{t), для которого (/о) -x*{to) I < 5, выполняется условие \x{t) - x*(f) I <е для всех t > fo. Требование орбитной устойчивости слабее требования устойчивости по Ляпунову для периодического решения. Для состояния равновесия требования обоих видов устойчивости совпадают.

4.2. ПОНЯТИЯ ТРАЕКТОРИИ И ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Метод плоскости состояния, или фазовой плоскости, применяется для исследования процессов в автономных системах второго порядка, описываемых двумя уравнениями состояния:

Х2 = fliXi, хг)-

Время, являющееся независимой переменной, не должно входить явно в правую часть, так что исключаются элементы с изменяющимися параметрами и переменные сигналы.

Предполагается, что процессы в системе происходят в результате действия начальных условий, т. е. запасенной в реактивных элементах к моменту f = О энергии, а также действия постоянных сигналов.

Суть метода состоит в построении кривых взаимной зависимости переменных состояния Х2 = PiXl) на фазовой плоскости Х\, Х2 и установлении их характеристик на основе геометрических или топологических свойств графиков.

Координатными осями плоскости являются переменные состояния Xi и Х2- Изображаемая на этой плоскости направленная кривая зависимости X2 = <f>{Xi), называемая траекторией, начинается от начальных точек Xi(0), X2(0), соответствующих f = О, и оканчивается в точках равновесия, соответствующих t = °°.

В точках равновесия, или особых точках, системы (4.1) производные переменных состояния равны нулю, так что должны удовлетворяться уравнения

Мхи Х2)=0;

f2(Xu Х2) =0.

в общем случае может быть несколько особых точек. Построение траекторий для ряда значений начальных условий в различных точках плоскости дает семейство траекторий, называемое фазовым портретом. При наличии нескольких особых точек получим разделение потоков траекторий: часть траекторий будет направлена к одной из точек равновесия, а другая часть - к остальным точкам. Линию раздела потоков траектории называют сепаратрисой.

Изучение геометрической картины или топологии фазового портрета позволяет получить все главные свойства решений системы нелинейных уравнений, описывающей поведение автономной нелинейной системы.

В качестве примера построим траектории собственных колебаний (без внешнего воздействия) в линейной цепи второго порядка - простом последовательном колебательном контуре, допускающем анализ в общем виде. Уравнение равновесия напряжений в контуре: Ldi/dt + + Ri + idt/C=0~ Зададимся численными значениями постоянных параметров элементов: R = ]; L =0,5; С= 1. Дифференциальное уравнение второго порядка для заряда:

dq dq

-- -t-2- 2q = 0 (f>0). (4.3)

dt dt

Запишем это уравнение в виде уравнений состояния в нормальной форме с напряжением на емкости и током индуктивности в качестве переменных:

(4.4)

di

- = -2м^ -2i.

dt С

Корни характеристического уравнения + 2р + 2 = 0 равны р, , = = - 1 ± / .

Решение уравнений (4.4) выражается следующим образом:

г = е [/ocosf- (2t/o-/о) sinf] ;

(4.5)

м^=е [t/o sin f + (t/o -/о) cos f ],

где /о, Uo - нормированные начальные ток в индуктивности и напряжение на емкости. При f оо ток и напряжение затухают до нуля: / = 0; Uq = 0; при этом удовлетворяются уравнения (4.2) для системы (4.4). Начало координат фазовой плоскости является единственной точкой равновесия, или особой точкой.

Если решение уравнений состояния известно, что возможно практически только для линейных цепей, то легко построить соответствую-дие траектории. Задаваясь значениями времени f = fj. в выражениях 1еременных состояния, т. е. исключая независимую переменную, полу-тм координаты точек траекторий Xi(t/), X2(fjt)> соответствующих зыбранным начальным условиям.

На рис. 4.1, а изображены графики зависимостей тока и напряжения на емкости (4.5) от времени для нач,1.1ьных условий Uo= 1, Го= 1, представляющие собой затухающие по экспоненте синусоиды. Взяв ординаты обоих графиков для различных моментов времени, чаносим их на фазовую плоскость и получаем фазовую траекторию (рис. 4.1,6), для точек которой указаны значения времени, играю-дего роль параметра. Траектория в виде спирали от начальной точки Uo = О, 1о = I направлена к началу координат - точке равновесия сво-эодного режима, которая будет достигнута при t °°.