Главная  Нелинейные электрические цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

Если известна или задана траектория с указанием параметра - времени, то, взяв проекции на оси координат, можно получить значения xi(tk) и X2(fjt) и построить по ним графики изменения переменных состояния в зависимости от времени. Следовательно, имеется взаимно однозначное соответствие между фазовыми траекториями и решениями уравнений состояния.

Рассмотренные уравнения (4.4) имеют вид уравнений состояния в нормальной форме, когда переменная Х2, откладываемая по оси ординат, является производной, т. е. скоростью изменения переменной Xi, откладьгоаемой по оси абсцисс. В этом случае можно установить некоторые закономерности для траекторий. В верхней полуплоскости, где скорость хг = Xi положительна, должно происходить нарастание X1 (траектория направлена слева направо), а в нижней полуплоскости, где скорость отрицательна, - убывание Xi (траектория направлена справа налево). В точках, где траектория пересекает ось Xi, скорость 2=0, что'означает неизменность Xi и, следовательно, пересечение оси траекторией под углом 90°.

Приведенные закономерности не будут соблюдаться в общем случае, когда переменные состояния являются токами и напряжениями произвольно присоединенных к цепи реактивных элементов и не связаны между собой простыми зависимостями в виде производной или интеграла.

Траектории из начальной точки, определяемой начальными условиями, направляются к точкам равновесия или к особым замкнутым траекториям, которые рассматриваются ниже. Указанные конечные состояния достигаются траекториями при f ± < . Знак минус относится к случаю неустойчивой особой точки. Пройти через особую точку траектории не могут. При этом траектории не должны пересекаться между собой, поскольку решения являются однозначными функциями времени.

В отличие от рассмотренного примера уравнений с известным решением, в случае системы нелинейных уравнений состояния решение обычно неизвестно. Поэтому задача состоит в приближенном построении траекторий, по которым можно выявить основные свойства решений. При этом очень важное значение имеют особые точки, или точки равновесия, систем. Уравнение траектории можно получить, разделив второе уравнение состояния (4.1) на первое:

dX2 /2 (Xi, Х2)

- = - . (4.6)

dxi /1 (xi, X2)

Это дифференциальное уравнение, выражающее тангенс угла наклона касательной в соответствуюцщх точках траекторий, к сожалению, в большинстве случаев аналитически неразрешимо.



4.3. ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ ТОЧЕК

Как уже отмечалось, особые точки, или точки равновесия, - это значения переменных x, = Xi, Хг = Хг, при которых одновременно обращаются в нуль правые части автономных уравнений состояния (4.2). В общем случае эта система двух функциональных уравнений может иметь несколько пар корней. Следует отметить, что наряду с рассматриваемыми изолированными особыми точками могут бьпь отрезки особых линий, на которых удовлетворяются (4.2).

В непосредственной близости от интересующей нас особой точки с координатами X i, X 2 нелинейные функции в правой части уравнений состояния (4.2) можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться его линейными членами:

fiixu Xi) a2i(xi -Xi) +a22(x2-X2).

(4.7)

Коэффициенты при отклонениях переменных от координат особой точки равны значениям частных производных функций:

df\ (гч. 2) a/i (Xi, Х2)

an =

02 1 -

022 -

а/2(Ь 2)

Удобно ввести новые переменные состояния >i=Xi-Xi; J2 = X2-X2.

(4.8)

Соответствующие этому уравнения состояния, линеаризованные в окрестности особой точки, имеют вид

>1

1У2 J

L 21

022 J

L 72 J

= Ay.

Введение новых переменных означает перенос начала координат плоскости состояния в точку равновесия (Xj, Х2), так что характер особой точки должен быть исследован в окрестности начала координат на плоскости у у, у2. Процессы изменения во времени переменных состояния и, следовательно, поведение траекторий здесь определяются решениями для у у и у 2, которые зависят от собственных значений матрицы А, т. е. от корней характеристического уравнения второй степени



det(A-pl) =

ll - V 12

021 агг - P

= р^-р(Д11 +022) +1122 - ai2fl2i =р^-ра+Д=0, (4.9)

где A =aiia22 - 2112 - определитель матрицы A; 0-011+022-Два корня pi и р2 этого уравнения будут устойчивы, если коэффициенты а<0 и А>0, и неустойчивы, если одно из этих усповий (или оба) не выполняются. В зависимости от соотношения между коэффициентами получим различные корни и соответственно этому различные решения для переменных состояния в окрестности особой точки. По виду корней и характеру изменения переменных состояния можно произвести классификацию особых точек. Рассмотрим различные виды особых точек, предполагая уравнения состояния заданными в нормальной форме, когда Х2 = Xi

1. Собственные значения матрицы параметров линеаризованной системы pi, Р2 вещественны. Переменные состояния имеют вид

Х1-АгеР+А2еР;

(4.10)

X2 = PiAieP +Р2А2еРг

Произвольные постоянные интегрирования можно определить из условий удовлетворения начальным условиям х i (0) и х 2 (0).

По решениям (4.10), задаваясь значениями времени, можно для выбранных начальных условий построить траектории, сходящиеся при t - ±°° ъ точке равновесия - начале координат. Среди этих траекторий, отображающих функции (4.10), имеются четрые прямолинейные траектории, которым соответствует прямая пропорциональность между переменными, что возможно, когда последние выражаются через одну экспоненту: exp(piO или ехр(р20> т. е. когда = О или Ах = 0. При Лг = О уравнение траектории хг = PiXi, а при Ai = О оно Хг = Р2-С1- Как видим, угловыми коэффициентами траекторий-прямых являются корни характеристического уравнения. Рассмотрим различные сочетания знаков вещественных корней.

А. Корни различны, но одного знака: особая точка является узлом. При Pi <рг <0 - отрицательных корнях - имеем устойчивый узел: переменные затухают, траектории направлены к точке равновесия, которая достигается при t°°. Прямолинейные траектории, определяемые корнями pi и рг и направленные к началу координат, располагаются во втором и четвертом квадрантах. Остальные траектории можно построить по решениям (4.10), состоящим из двух экспо-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85