кесинусоидальную форму, возникают также в цепях первого порядка.

Замкнутую траекторию, изображающую периодический автоколебательный процесс в нелинейных системах, называют предельным циклом. В силу отмеченной относительной независимости автоколебаний от начальных условий и параметров цепи предельные циклы не могут располагаться поблизости друг от друга, так что ближайщие к ним как с внутренней, так и с внешней стороны траектории должны быть разомкнутыми: поблизости не должно быть других замкнутых кривых. Предельные циклы, следовательно, должны быть изолированными замк-нутылт траекториями. Предельные циклы могут быть устойчивыми или неустойчивыми (орбитно-устойчивыми или неустойчивыми).

Если все траектории, начинающиеся в сколь угодно малой окрестности предельного цикла, приближаются к нему, то имеем устойчивый предельный цикл. Если же хотя бы одна из этих траекторий не приближается к предельному циклу, то последний неустойчив. Различают также полуустойчивый, или двойной предельный, цикл, когда траектории с одной стороны (внещней или внутренней) приближаются к предельному циклу, а с другой (внутренней или внешней) удаляются от него. Название двойной цикл отражает то обстоятельство, что этот цикл при изменении параметра цепи порождает два предельных цикла: устойчивый и неустойчивый. На рис. 4.5 изображены три вида предельных циклов:

1) устойчивый, при котором траектории как с внутренней, так и с внешней стороны направлены к замкнутой траектории (рис. 4.5,а);

2) неустойчивый, при котором траектории как с внутренней, так и с внешней стороны направлены от замкнутой траектории (рис. 4.5, б);

3) полуустойчивый; здесь траектории с внешней (внутренней) стороны направлены к предельному циклу, а с внутренней (вненшей) стороны - от него (рис. 4.5, в).

В автономных системах может быть несколько охватывающих друг друга изолированных предельных циклов различного вида (устой-

чивых, неустойчивых или полуусгойчивых), соответствующих колебаниям с разными амщ1итудами переменных.

Пример 4.1. Рассмотрим уравнение генератора высокочастотных колебаний Ван-дер-Поля, полученное в § 3.2.

При нормированных сеточном напряжении и времени уравнение имеет вид

x - - х^)х + х = 0.

Приняв x = xi; Х2 - Ху, запишем его в виде системы двух уравнений состояния:

xi = fl (xi, хг) = хг;

X2~f2iXl, Х2) = - Xl + tiil - x)X2

Приравнивание нулю правых частей показьшает, что состояние равновесия расположено в начале координат: ху - 0; Х2 = 0. Частные производные в указанной точке равны

11 = 0; Д21 = 1; 21=-!; 22 = 1-

Соответственно этому Д = 1122 - 2112 = 1 > 0; 0= ац +а22 = 1 >0

и, следовательно, состояние равновесия неустойчиво. Характеристическое уравнение (4.9)

р^- ра+ А = - р + 1 = О

имеет пару комплексных сопряженных корней с положительной вещественной частью: Р] 2 = (1±У\Д)/2, так что состояние равновесия является неустойчивым фокусом. Траектории будут иметь вид раскручивающихся спиралей не только в окрестности начала координат, но и при всех х| < 1, обеспечивающих отрицательный коэффициент перед х: амплитуда напряжения сетки нарастает. При всех UI > 1 получаем положительный коэффициент, что приведет к убьша-нию амплитуды колебаний и к траектории в виде скручивающейся спирали.

Из рассмотрения траекторий, которые расширяются во внутренней области и сжимаются во внешней, следует, что должна существовать граничная замкнут тая траектория - устойчивый предельный цикл при \х\ = 1. Уравнение цепи в этом случае х +х = О имеет корни характеристического уравнения Pi,2 = */. дающие решение в виде гармонического колебания. Соответствующая траектория имеет вид окружности единичного радиуса, охватьшающей начало координат. Это особая траектория, которая притягивает к себе все траектории, начинающиеся в любой точке фазовой плоскости, как внутри, так и вне окружности х( = 1.

4.4. ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ

Для приближенного, качественного построения фазового портрета в первую очередь определяют особые точки и на основе линеаризации уравнений устанавливают устойчивость или неустойчивость и вид особых

точек. По этим данным можно нанести траектории в окрестности всех особых точек, допуская некоторую экстраполяцию за ближние окрестности.

В случае линейных систем с единственной особой точкой справедлива экстраполяция на всю фазовую плоскость; вид особой точки определяет фазовый портрет полностью. В случае же нелинейных уравнений, конечно, недостаточно знания траектории только вблизи особых точек, хотя оно и дает достаточно много информации.

Очень важно установление наличия или отсутствия предельных циклов, изображающих автоколебания, и выяснение их устойчивости или неустойчивости. Установление существования и нахождение предельных циклов для произвольной нелинейной системы является трудной задачей.

Имеется ряд методов построения траекторий на фазовой плоскости. Рассмотрим кратко некоторые из них. Начнем с траекторий консервативных цепей, которые строятся простейшими приемами.

фазовые траектории консервативных систем. Консервативная система, или система без потерь энергии, второго поряДка описывается уравнением, не содержащим первой производной. Рассмотрим процессы в консервативных системах на примере свободных колебаний в простом колебательном контуре без потерь - в цепи, составленной из линейной индуктивности и нелинейной емкости с характеристикой

Uc = fc4Q)=aiq + a3q. (4.13)

Уравнение равновесия напряжений в контуре (£ = 1; q =х)

-+aiq+a3q =х -ахх + агх^ =0. (4.14)

В процессе колебаний полная энергия Е в цепи, равная сумме энергии в емкости (потенциапьной энергии £ ) и энергии в индуктивности (кинетической энергии Е^), остается постоянной, равной начальной, запасенной в обоих элементах энергии: £ = £п + £к-

Энергия в емкости с учетом (4.13) при q=x

Ea=iu(q)dq=S (ajX + азХ^)й?х = О О

= 1 а^х^ + - агх\ (4.15)

Здесь принято, что напряжение, на емкости равно производной от энергии, =dEfi/dq.