Главная  Нелинейные электрические цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

с начальными условиями X 1(0) =Xio; ХгСО) =Хго-

Пусть правые части уравнений являются аналитическими функциями, т. е. могут бьггь разложены в сходящиеся ряды по степеням переменных Xl к Х2 в каждой точке интересующей нас области плоскости, или кусочно-аналитическими функциями. Тогда, как доказывается в математике, существует единственное рещение системы (4.25), удов-леторяющее любым начальным условиям х ю, х 20

xi(t)=dt); Х2= Фг(0. (4.26)

При этом решения дифференциальных уравнений состояния будут непрерывным образом зависеть от начальных условий:

Xi = \l/i(t, Xio, Х20); Х2 = 2(1, Xio, X2o)-

Множество точек на плоскости Xj, Х2 с координатами </i(fjt), /2(fjfc). определяемыми для последовательных значений времени f = = /) в пределах от / = f о = О до f = < , образует, как указывалось, фазовую траекторию, направленную в сторону возрасгания времени.

Фазовая траектория с указанием значений времени является геометрическим представлением частного решения (4.25). Обратно, заданной на фазовой плоскости траектории, начинающейся в точке Хю, Хго, соответствует решение системы с начальными условиями Xi(fo) и

X2(to)-

Согласно (4.19) угловые коэффициенты касательных в каждой точке траекторий будут определяться векторами, составляющие которых по осям Xl, Х2 соответственно равны правым частям уравнений /i(xi, Х2), f2(x\, Х2)- Нанеся на множестве точек интересующей нас области векторы в виде направленных отрезков, касательных к траекториям, получим векторное поле, которое будет непрерывным за исключением особых точек. Особая точка является стоком векторного поля, которое претерпевает здесь разрыв - исчезает.

Область фазовой плоскости, в которой исследуются решения дифференциальных уравнений, принимается ограниченной ожидаемыми максимальными значениями переменных состояния.

Траектории фазовой плоскости или фазового пространства ра> бивают на два класса: особые и неособые (обычные) траектории. К особым траекториям относятся состояния равновесия, предельные циклы, сепаратрисы седловых точек.

Каждая траектория изображает определенное частное решение уравнения для заданных начальных условий.

Особая точка с координатами а, b дает установившееся решение Xiy = а, Х2у = Ъ. Если выбрать начальные условия xi(0) = а и Х2(0) =



= b, то сразу, без переходного процесса получим установившийся режим. Следовательно, особая точка изображает указанное частное решение и поэтому должна рассматриваться как особый вид траектории, которая начинается и заканчивается в одной и той же точке, соответствующей положению равновесия.

Предельный цикл также является особой траекторией, изображающей установившееся периодическое решение. При выборе начальных условий в любой точке цикла получим установившийся режим сразу, без переходного процесса.

Кроме особых точек и предельных циклов к особым траекториям относят сепаратрисы седловых точек, образующие замкнутые контуры (см. рис. 4.10, в): две пары сепаратрис седловой точки, стремящейся к ней при t -> -°° а входяище при г -> < в свое же седло, образуют замкнутый контур в виде восьмерки. К этому контуру могут стремиться, наматываясь на него, обычные траектории.

Как уже говорилось, все остальные траектории, не относящиеся к особым, называются неособыми или обычными. Эти траектории направляются от начальных точек xi(to), 2(0) к указанным особым траекториям (рис. 10, а, б).

Вводят понятие полутраекторий - положительных и отрицательных. Положительная полутраектория - это часть траектории от начальной точки хю, хю ДО конечной, соответствующая решению для t>to (от f = ?о ДО f = +°°), а отрицательная полутраектория соответствует решению для ? < ?о (от Г = ?оДО? = -°°) - Целой называют траекторию, соответствующую решению для -< <?< >. Такой траекторией, в частности, является предельный цикл, целиком лежащий в ограниченной области и отображающий периодическое решение для всех - оо < f < оо .

Вводят также понятие предельной точки М полутраектории L изображающей решение xi = tpiit), Х2 = ф2(0 ДЛя t>to- Если а, Ъ - координаты предельной точки, то должна существовать неограниченно возрастающая последовательность моментов времени Го, f 1, . .., f (при и -> оо оо) такая, что в пределе

lim i i(f ) =а; lim 2{tn)=b.

П->°о И^оо

Точка М(а, Ь) является предельной точкой полутраектории Аналогично вводится предельная точка для отрицательной полутраектории. Предельными точками для полутраекторий, направленных к положениям равновесия, являются узлы, фокусы и седла, а для траекторий, идущих по спиралям к предельному циклу, - каждая точка этого цикла. Если предельная точка М{а, Ь) полутраектории L * лежит на траектории Lq, 10 последнюю называют предельной траекторией, все ее точки




Рис. 4.10

считаются предельными для Предельный цикл является предельной траекторией для любой наматывающейся на него полутраектории.

Совокупность всех упомянутых предельных точек и траекторий называют предельным множеством.

После установления возможных типов предельных траекторий можно указать соответствующие типы полутраекторий. Полутраекториями L являются: 1) полутраектория, идущая к точке равновесия (рис. 4.10, а); 2) полутраектория, направленная к предельному циклу (рис. 4.10,6); 3) полутраектория, стремящаяся к контурам, образованным сепаратрисами седел (рис. 4.10,в). Сюда же можно отнести полутраекторию в виде состояния равновесия.

Если правые части уравнений состояния (4.25) являются аналитическими функциями, то, как доказывается в математике, число особых траекторий - состояний равновесия и предельных циклов - конечно. И далее, если имеется на фазовой плоскости замкнутая траектория, то внутри нее непременно должна находиться хотя бы одна точка равновесия.

Ввиду невозможности аналитического рещения уравнений нелинейных систем основным общим приемом изучения их поведения является качественное исследование. Для качественного исследования нет необходимости в точном построении траекторий в заданной ограниченной области плоскости, что связано с большими трудностями. Вполне достаточно построения качественной структуры разбиения на траектории фазовой плоскости.

Качественную структуру разбиения можно получить, нанося на фазовую плоскость особые траектории, для чего необходимо знать



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85