Главная  Нелинейные электрические цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

Но главная трудность состоит в нахождении функции последования. В большинстве случаев не удается получить явное выражение этой функции. Поэтому применяют запись функции с введением параметра - времени прохождения по траектории от исходной точки к последующей точке. Но для определения т^ нужно иметь решение по возможности в общем виде с начальными условиями и наиболее важными параметрами. Практически это выполнимо только для линейных уравнений второго порядка.

В связи со сказанным точечное преобразование применяют для построения качественной структуры фазовой плоскости для автономных кусочно-линейных систем, у которых правые части уравнений состояния являются кусочно-гладкими функциями. Такие уравнения получаются при кусочно-линейном представлении нелинейных характеристик элементов. При этом фазовая плоскость разбивается на несколько областей, в каждой из которых уравнения системы будут линейными, допускающими решение в аналитическом виде. На границах раздела областей полученные решения должны быть согласованы, или, как говорят, сшиты.

Рассмотрим некоторые, поясняющие идею моменты применения метода точечного отображения на простом примере построения траекторий для уравнения генератора высокочастотных колебаний на триоде, которое было получено в § 3.2. В отличие от представления нелиней-ностей анодно-сеточной характеристики нечетным полиномом третьей ступени, приводящего к уравнению Ван-дер-Поля (3.19), применим кусочно-линейное приближение, показанное штрихами на рис. 3.5, е. Ограничившись двумя линейными участками с точкой сопряжения или излома {U, О), где U - принятое напряжение отсечки анодного тока, имеем

/( i)=0, /, = 0, i<-t/; /(Ml) =5mi, /Jj = 5, u,>-U,

где S - крутизна характеристики на линейном участке.

Уравнение (3.17) для напряжения сетки разбивается на два линейных уравнения для каждого из линейных участков:

d и, , du,

-+o,lRC--+o,lui=U, u,<-U;

dt dt

du t , du

-l(RC-SM)-- +ilui = 0, Uy>-U.

dt dt

Разделим оба уравнения на t/и со J и перейдем к нормированному

о

напряжению и нормированному времени:



e=oiot; t = elu>o-

Введем обозначения 0,5cJoC = a; Q,SuioiSM-RC) =p.

Уравнения для двух линейных участков сеточной характеристики с нормированными напряжением сетки х и временем в получают вид

dx dx

+ 2а- +х = 0, х<-1; (4.32)

de de

dx dx

-2/3- +х = 0, х>-1. (4.33)

de de

Решения первого линейного уравнения будут изображаться траекториями, лежашими в области / фазовой плоскости слева от прямой х = = - 1, а решения второго - траекториями в области , справа от прямой X = - 1 (рис. 4.17).

Рассмотрим второе уравнение, описывающее цепь лампового генератора на линейно нарастающем участке сеточной характеристики. Записав его в виде системы двух линейных уравнений с переменными

X=Xi ТЛх[ =Х2

dxi dx2

- =Х2; - =-xi+2j3x2,

de de

видим, что состояние равновесия расположено в начале координат: X1 = Х2 - 0. Корни характеристического уравнения:

Если )3 > О, то корни лежат в правой полуплоскости и состояние равновесия неустойчиво. При (i > 1 точка равновесия будет неустойчивым узлом, а при О < j3 < 1 - неустойчивым фокусом. Далее рассматривается автоколебательный режим, представляющий наибольший интерес.

Для выполнения условия )3 > О, обеспечивающего самовозбуждение колебаний, необходим выбор взаимной индуктивности, осуществляющей обратную связь, M>RC/S. При этом все траектории должны бы неограниченно удаляться от точки равновесия, но существует граничная линия - вертикальная прямая xi = -1 (обусловленная нелинейностью) , за которой действует уравнение (4.32).




Рис. 4.17

Рис. 4.18

Параметр а = copj?С/2, входящий в это уравнение, при соо = 1/ s/LC равен 1/(2Q), где Q = \/L/CfR> 1 - добротность контура. Параметр всегда положителен и а < 1, так что состояние равновесия Ху = Х2 = = О будет устойчивым фокусом. Соответствующие траектории, лежащие в области /, будут вообще стягиваться по спирали к началу координат, но, конечно, оставаясь в пределах предписанной области /. Граничную вертикальную линию - прямую xi = -\ разделим на две части (рис. 4.17): положительную полупрямую а без контакта (xi = ~l, Х2>0) и отрицательную полупрямую b без контакта (xi = -1, Xj < < 0). Рассмотрим траекторию £2 в области , представляющую собой решение уравнения (4.33) с начальной точкой (-1,/и') на полупрямой а. Раскручиваясь по спирали в области II, траектория попадает в более удаленную точку (-1, -mi ) - на полупрямую Ь. Указанные соответствия точек М0Ж1Ю рассматривать как точечное отображение Гц полупрямой а в полупрямую Ь, производимое траекториями области II.

Траектория L i в области /, изображающая решение уравнения (4.32) с начальной точкой (-1, -т) на полупрямой Ь, направляясь по уменьшающейся спирали, попадает в менее удаленную точку (-1, т') полупрямой а. Данные соответствия точек можно рассматривать как точечное отображение Т\ нижней полупрямой b в верхнюю полупрямую а, осуществляемое траекториями области /. Изображающая точка будет перемещаться сначала по траектории L i в течение времени ti, а затем после пересечения границы - по траектории £2 за время Т2. Оба перемещения совершаются во времени последовательно. Соответственно этому результирующее точечное отображение, осуществля-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85