f{A, V) = (1 - /4)sini - (sinV)/4.

Определитель системы A=A(t). Искомые производные амплитуды и начальной фазы

Ait) =цПА, ф)втф;

61*(О =1лПА, ф)со8ф.

Произведем усреднение: перейдем к средним за период колебания значениям производных. Интегрирование (5.27) в пределах периода с учетом/(А, ф) дает

м

2т I /

ср= - J ПА, xl;)sindt=~- iiA

2я о 2

еср = - / /(Л ф)со5фdt = Q.

2тг о

(5.28)

Получены два независимых друг от друга укороченных уравнения для амплитуды и фазы огибающей колебаний, которая не содержит синусоидального заполнения: оно исключено в результате усреднения. Из простого качественного анализа полученных автономных уравнений можно вывести основные свойства решения. Из равенства нулю производной от начальной фазы (второе уравнение) следует постоянство фазы 9 = бо. где 00 - начальная фаза.

Приравняв нулю правую часть уравнения, получим состояния равновесия, представляющие собой амплитуды установившихся колебаний, равные А = 0 и А = 2. Для оценки устойчивости состояний равновесия необходимо определить знак производной правой части, первого уравнения (5.28), определяемой выражением

/ заЛ 1 - -

0,5 м

\ 4 /

Первая точка равновесия (Л =0), в которой производная, равная 0,5 м > О, положительна, неустойчива, а вторая точка {А2 = 2) с отрицательной производной, равной, - м < О, устойчива.

Если решить первое уравнение (5.28), то можно получить уравнение огибающей колебаний, т. е. медленно изменяющейся амплитуды напряжения сетки. Интегрирование уравнения при начальном условии А =Ао для f = fo дает

Л = Л о [ 1 - 0,25-/1 (1 - е f) ] - / е f/2 . (5.29)

Если согласно (5.18) умножить эту медленно изменяющуюся амплитуду на cos (t + в), то получим истинное напряжение сетки в виде модулированного по (5.29) высокочастотного колебания. 126

Из (5.29) видно, что амплитуда колебаний, или огибающая, нарастает от Л о при f = 0 вначале, когда экспонента в квадратных скоб ках невелика, приблизительно по ехр(juт/2). Постепенно скорость нарастания снижается и достигает нуля при t °°, когда амплитуда становится равной Л = 2 в установивщемся колебательном режиме. Амплитуда не зависит от начального напряжения, что свойственно автоколебательным процессам.

На фазовой плоскости установившемуся колебанию будет соответствовать устойчивый предельный цикл, к которому будут направлены по спирали траектории как изнутри при Aq<2, так и снаружи при Ао>2. При Ло-О траектории будут направлены от неустойчивой точки равновесия. При этом нарастание амплитуды вначале будет происходить по экспоненте с постоянной времени т = 2/jLt, обратно пропорциональной малому параметру. Чем больше у тем быстрее нарастание колебаний. Если произвести денормирование параметра согласно (3.18а), то

2 2 2

д fl/u)o ojqSM- XIQ

Увеличение добротности контура приводит к уменьшению постоянной времени и времени нарастания колебаний, что также характерно для автоколебаний; как известно, в нелинейном колебательном контуре увеличение добротности увеличивает время установления колебаний.

В приведенном изложении принятая в качестве приближенного решения гармоническая функция с медленно изменяющимися амплитудой и фазой представлена в полярной форме (5.18). Эту форму решения, предложенную Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым, удобно применять для анализа автономных систем.

Для получения почти периодического решения уравнений неавтономных систем удобнее представление в прямоугольной форме вида

x(t) = X{t)cast + K(r)sinr.

Для этой формы решения, предложенной Ван-дер-Полем, с помощью усреднения в пределах периода можно также свести задачу анализа неавтономной системы к более легкому анализу автономной системы с применением фазового портрета.

5.4. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Метод гармонической линеаризации, предложенный Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым, является основой частотного метода анализа, который в приближенном виде может применяться для анализа установившихся колебаний в некоторых нелинейных системах. Установив-

шиеся колебания в автономных или неавтономных цепях с синусои-дапьным воздействием должны быть близки по форме к гармоническим колебаниям. Метод позволяет использовать анализ с помощью комплексных амплитуд и таких важных понятий, как комплексное сопротивление и комплексная функция передачи, которые очень широко применяются при анализе линейных цепей в установившемся синусоидальном режиме.

Для применения метода гармонической линеаризации требуется выполнение следующих условий: 1) в неавтономной цепи при действии на входе гармонического сигнала установившаяся периодическая реакция должна иметь тог же период, что и входное воздействие; 2) основная гармоника реакции, частота которой равна частоте воздействия в случае неавтономной цепи или определяется параметрами автономной цепи, должна доминировать над остальными гармониками. Для выполнения данного условия необходимо, чтобы нелинейность в системе бьша несильной, а кроме того, чтобы частотные характеристики линейной части ослабляли высшие гармоники.

При выполнении приведенных условий можно пренебречь всеми высшими гармониками в выходной реакции и учитывать только основную гармонику. Это означает, что нелинейная система, реакция которой содержит бесконечное число гармоник, заменяется приближенной эквивалентной нелинейной системой, реакция которой представляет собой гармоническую функцию

ЛСО =icoscoif+5isincoif, (5.30)

равную первой гармонике реакции исходной системы. Очень важным здесь является то, что амплитуда и фаза реакции (5.30) или коэффициенты Л1 и Bi зависят от амплитуды А входного сигнала:

Ai=fi(A); Bi=MA).

В соответствии с принятым положением, что переменные цепи -как воздействие, так и все реакции - являются синусоидальными функциями одной и той же частоты, можно ввести комплексные амплитуды переменных и применить метод комплексных амлпитуд. Имеем комплексные амплитуды

Fi=A; F2=ai-jbi = Feif . (5.31)

Функция передачи эквивалентной нелинейной системы, равная отношению комплексных амплитуд реакции и воздействия, зависит как от частоты, так и от амплитуды входного сигнала:

H(j(A А)=~ = \Н\е'*. (5.32)