и т

<p(ii) = S aff; фИг) = S bf*. (6.25)

k= 2 k= 2

Причины, no которым суммы в (6.25) берутся начиная с к = 2, уже обсуждались выше.

Первая итеращ1я Пикара для решения уравнений (6.24) получается, если в них положить равными нулю нелинейные члены. Пометив первую итерацию индексом 1 сверху, получим

Z (p)i(l> (О +ZMii\t) =Hdp)u{t);

22i(p)ip40 +Z22(p)ii4t) =H2(p)u(t).

Если уже найдена r-я итерация (г>\), то (г+1)-я находится из уравнений

Zn(p)h\t) +Zn(p)i[4t) + £ fe =H,(p)u{t);

2 (6.27)

Z2dp)it*Hf) i*\t)+p Z =Я2(р)м(0.

A:=2

Ha практике, как уже отмечалось выше, целесообразно пользоваться усеченными итерациями Пикара, которые получаются, еаш в развернутой записи г-й итерации сохранить те и только те слагаемые, которые являются ВП-полиномами не выше г-й степени.

Столь же просто (в идейном плане) вычисляются итерации Пикара и для случая, когда цепь описывается уравнениями переменных состояния в форме Коши

- =anxi +апХ2 + +а^ х„ +fi(xuX2----,х„) +<f>i(t);

- =a2iXi +022X2 + + aXn +f2(xu X2.x ) +iP2{t); (6.28)

dXfi

= a li +a 2X2 +--+a x +f (xuX2,.. .,x ) +V (0-

Пусть нелинейные функщт fixi, . . ., x ) (fc = 1, 2, . . ., n) являются полиномами, не содержащими линейных и постоянных членов. Пусть, кроме того, уравнения (6.28) преобразованы так, что Х\{0) = = 2(0) = . . . =х„(0) =0. Для этого, как известно, достаточно прибавить к функциям ]f{t) соответствующие импульсные функции.

При таких условиях (6.28) можно записать на языке ВП-полиномов:

pxi = aiixi + .. . +aj x +fi(xi----, x ) +¥i(f);

pxi = ajii + +a2n 2(1. x ) +p2(t), 29)

px =a ixi + . .. +an x +f (xi.....x ) +¥ (0-

Первую итеращ1ю Пикара получим, если исключим из (6.29) нелинейные члены:

(а„ -р)х(1> +апх^ + ... +ai x (l> +Pl(t) =0;

21/ +(а -р)х1 + ... +а2 х > +2(0 =0; (3Q

+ 2i + + ( пп -Р)х+¥ (0=0.

Если уже известна г-я итерация Пикара (г > 1), то (г + 1) -я итерация получается из уравнений

(a -p)x/i> + anxf*l>+ ... +ai x (- +A(x/>,...,x ()) + + i(f) =0;

a2ix/l> + (a22 - P)x + .. . +a2 x (-l) +Л(х ..., xC )) + + 2(0 =0;

11 22 + + (Cnn-P)x +/ (x/)....,x ())+ + ¥ (0 =0.

Обычно ограничиваются усеченными итерациями Пикара. В дальнейшем будем использовать только усеченные итерации и индекс s у итераций опускать.

Таким образом, если для цепей с сосредоточенными параметрами существует решение уравнений цепей в виде функционального ряда Вольтерры, то существует и тождественный ему ВП-ряд.

Каковы преимущества ВП-рядов по сравнению с классическими рядами Вольтерры? Это, во-первых, более простой способ построения ряда. Во-вторых, вместо вычисления многомерных интегралов ВП-полиномы сводят расчеты к многократному вычислению одномерных интегралов свертки или к одномерным преобразованиям Лапласа и Фурье. В-третьих, линейные операторы, входящие в ВП-полиномы, достаточно просто выражаются, как это видно из (6.19), (6.20) и

(6.27), через параметры цепи, что имеет немаловажное значение в задачах синтеза, моделирования и идентификации.

6.3. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ В ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Если отрезок функционального ряда построен, то он дает приближенное аналитическое представление реакции цепи через воздействие и параметры цепи. Полученная при этом формула универсальна в том смысле, что справедлива при любых внешних воздействиях, лишь бы амплитуды их обеспечивали сходимость ряда. В противоположность этому многие другие методы приближенных аналитических решений ограничены узким конкретным классом внешних воздействий.

Аналитические формулы особенно удобны на стадии предварительного проектирования электронной аппаратуры, когда нужно иметь возможно больше качественной информации о зависимости решений от внешних воздействий и свойств цепи.

При фиксированных значениях параметров цепи и внешних воздействий приближенные аналитические выражения дают возможность и численного расчета реакций. Вряд ли такой подход может конкурировать по точности с широко применяемыми шсленными методами, однако, если высокая точность не требуется, то применение функциональных рядов может иметь ряд преимуществ.

Во-первых, расчет ВП-полиномов включает в себя довольно простые и широко применяемые процедуры, входящие в стандартное матобеспечение. Во-вторых, если инженера интересует только одна реакция цепи, то метод функциональных рядов позволяет вычислить лишь ее, в то время как, скажем, при решении уравнений переменных состояния приходится вычислять все переменные. Это увеличивает время расчета, загружает память машины и может уменьшить точность расчета. В-третьих, функциональные ряды удобнее применять при сложных внешних воздействиях, например при полигармонических или модулированных сигналах. Традиционные численные методы в этих случаях связаны со значительными трудностями.

Проиллюстрируем этапы расчета цепи конкретным примером. На рис. 6.3 изображена цепь, в которой нелинейный резистор имеет вольт-амперную характеристику, уравнение которой

Параметры цепи приведены в относительных единицах. Проводи-

S +1

мость линейной части цепи (линейного двухполюсника) Y(s) = - .

S + 2

Воспользовавшись выражением (6.20), запишем отрезок ВП-ряда для тока I (?), содержащий ВП-полиномы до третьей степени включительно,