Главная  Нелинейные электрические цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [ 52 ] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

5. Цепь должна быть причинной. Это значит, что все реакции цепи равны кулю, пока равны нулю воздействия.

Отметим, что не все из перечисленных условий являются полностью независимыми.

Условие 5 кажется излишним, так как, если опыты проводятся с реальной цепью, то принцип причинности выполняется автоматически. Однако схема может представлять собой модель электрической цепи, существующей только на бумаге (или в памяти ЭВМ).

Перечисленные условия характерны для таких цепей, как тракты усилителей, фильтры, корректоры, функциональные преобразователи, вьшрямители, детекторы, трансформаторы и т. д.

Идентификация резисгавиых цепей. Если цепи исследуются в режиме постоянного тока, то их можно считать чисто резистивными. В этом случае задача идентификации состоит в получении аналитического выражения, не содержащего производных и интегралов и дающего явную зависимость выходного сигнала от входного.

Подавая на вход цепи постоянные воздействия в заданном диапазоне амплитуд и измеряя реакщи (также являющиеся постоянными), получают таблицу чисел (или график), дающую зависимость входного сигнала от выходного. Для получения соответствующей аналитической зависимости можно применить известные алгоритмы аппроксимации функщй. Наиболее распространенными являются здесь аппроксимация полиномами, сплайн-функциями [2], аппроксимация Паде [7] и др.

При всей идейной простоте задачи ее практическая реализация требует решения ряда проблем: оценки погрешности измерений, выбора формы тестового воздействия (не всегда самым удобным является постоянное воздействие), оценки точности аппроксимации и др. Сведения о решении этих вопросов читатель может почерпнуть из книги [30].

Идеитафикация цепей вслабонелинейиом режиме.Как уже отмечалось в главе 6, если нелинейные элементы в электрической цепи описываются аналитическими зависимостями, то при определенных ограничениях на свойства цепи и достаточно малой амплитуде входного воздействия x(t) реакцию y{t) можно представить в виде сходящегося функщонального ряда Вольтерры (ФРВ):

y[x{t)] = Е 7 . . 5 Л^(Т1.....Tjt) П xit-T)dT. рЛ)

А:=1-ооЛраз-оо г - i

Такое представление обладает \р1огими достоинствами. Оно дает аналитическую зависимость выходного сигнала от входного, оно универсально, изучение ядер hjc(Ti,. . .,7) позволяет определить зависимость у (г) от свойств цепи и подсказывает методы синтеза нелинейных цепей и т. д. Поэтому вопросам идентификации цепей на основе



ФРВ уделяется в литературе значительное внимание, хотя нужно постоянно помнить, что такая идентификация возможна лишь в слабонелинейном режиме, т. е. при малых амплитудах входных воздействий.

Задача идентификации заключается в выборе формы тестовых воздействий x{t) и разработке методики, которая позволяла бы по измеренным реакциям определить ядра hi(Ti,.. .,ti) в (7.1).

Обычно ограничиваются отысканием очень небольшого числа ядер (первых двух, трех, четырех), так как, во-первых, высшие слагаемые в (7.1) дают, как правило, малый вклад в общую сумму, а во-вторых, вычислительные трудности при расчете ядер более высокого порядка резко возрастают.

Наряду с отысканием ядер hj(Ti,. .., не меньшее внимание уделяют и задаче определения Фурье-изображений ядер HjQcJi,...

Прежде чем описывать методику определения ядер, остановимся на двух проблемах, с которыми в первую очередь сталкивается исследователь. Одна из них заключается в выборе амплитуды входных воздействий. Она должна быть такой, чтобы ряд (7.1) сходился. Однако исследуемая цепь представляет собой черный ящик , поэтому априорная информация о радиусе сходимости ряда, как правило, отсутствует. Следовательно, единственным выходом является экспериментальное определение амплитуды входного воздействия. Для этого вначале на цепь подают настолько малое по амплитуде воздействие, чтобы в реакции практически не отмечались нелинейные эффекты. Например, при чисто гармоническом воздействии реакция не должна содержать нулевую и высшую гармоники. Затем увеличивают амплитуду входного воздействия до тех пор, пока измерительная аппаратура не будет уверенно отмечать те нелинейные составляюище реакции, которые необходимы для идентификации нескольких первых ядер Вольтерры. Таким образом, желательно работать в районе нижнего предела измерительной аппаратуры.

Вторая проблема состоит в том, что при идентификации ядра Вольтерры Аг-го порядка {к> 1) существенное влияние на точность оказывают соседние члены ряда Вольтерры. Это влияние тем более опасно, что, как было сказано, сами амплитуды нелинейных слагаемых ряда Вольтерры должны быть малы. Поэтому необходимо применять специальные приемы, позволяюцще минимизировать указанное влияние. Опишем один из этих приемов [16]. Его идея заключается в конструировании из реакций цепи такого выражения, которое было бы с определенной точностью равно к-му слагаемому ряда Вольтерры (7.1).

Если x(t) - воздействие на цепь, а j(f) - реакция, то будем записывать ряд Вольтерры (7.1) в виде

7(0 =y[xit)].



Пусть а - произвольное вещественное число. Тогда реакция цепи на воздействие ах (/) равна

y[axit)]= Та! / Лд.(гь...,тр X

к = I - оо Л раз -

к

X П x(t-T)dTr. (7.2)

Предполагаем а таким, чтобы этот ряд сходился. Подадим на вход цепи поочередно воздействия aix{t), a2x(t),.. .,a x(t) (ai, аг, . . . . .., a - различные вещественные чиспа, не равные нулю) и измерим соответствующие реакции j [а;.х(0 ]. г= 1,. . .,п. Образуем выражение

Fmlxit)] = S ay[arx(t)], (7.3)

r= I

где Or - вещественные числа, которые выбираются из следующих соображений. Если подставить в (7.3) вместо y[af.x(t)] его выражение из (7.2), то получим

F[x(0]= £ f S а^аЧ J ... Г (ti , -, X к = 1\г= I / -°° к раз -°°

X П x(t-T)dT. (7.4)

9=1

Выберем числа таким образом, чтобы в правой части (7.4) обратились в нуль все первые п членов, кроме т-го а коэффициент при w-кратном интеграпе стаи равным единице. Таким образом, следует рещить систему уравнений

S а^а^ = 0;

г = 1

S а,а^ =0;

г = 1

S а^о; =1 (7.5)

г = 1

Е а а =0.

г г

г = 1



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [ 52 ] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85