Эта система всегда имеет решение и притом единственное, так как определитель системы лишь множителем aiai...a отличается от определителя Вандермонда.

Таким образом, при любых вещественных числах а;., отличных ог нуля и попарно различных, можно найти такие числа , при которых комбинация (7.3) из реакций цепи равна т-му члену ряда Вольтерры (7-1) с точностью до отброшенных членов порядка и1 и выше. Поэтому выражение (7.3) удобно использовать при идентификации ядра Вольтерры п-то порядка.

Выражения, подобные (7.3), можно построить бесчисленным множеством способов, беря различные числа а^, а2,---,а„ и определяя по ним из (7.5) коэффициенты Ог- Возникает вопрос, существует ли группа чисел Oj, аг, . являющаяся в каком-либо смысле пред-

почтительной? Прежде всего, целесообразно выбирать а^. так, чтобы выполнялось условие о;д.<1, к = 1, 2,..., п. При невыполнении этого условия существует опасность расходимости ряда (7.2). Кроме того, можно указать систему чисел ai, .. .,a , в определенном смысле минимизирующих влияние оставшихся членов ряда Вольтерры (п + + степени и выше в выражении (7.3) [16]. Опишем вкратце суть алгоритма получения таких чисел.

Так как погрешности определяются членами ряда Вольтерры, имеющими степень выше п, то обозначим в (7.2) эти члены через е(а) :

оо оо

у[ах(П] = S а* J . . . J й^(т1....,тр X

Д: = 1 -оо -оо

к

X П x(t- Tr)dTr +е(а) .

Подставим зто выражение в (7.3), выбрав коэффициенты а;, в соответствии с (7.5). Тогда получим

и оо оо

Е ary\cL,x{t)] = J ... J h {T ...,T)X

г = 1 - OO - оо

X П x(t-T)dT + E a,€(a,). (7.6)

9=1 r = I

Чем меньше по модулю последнее слагаемое в правой части (7.6), тем точнее левая часть, найденная экспериментально, аппроксимирует член ш-го порядка ряда Вольтерры. Запишем следующее неравенство:

(7.7)

Представляется естественным для уменьшения левсгй части (7.7)

п

потребовать минимизации сомножителя S в правой части, по-

г = 1

скольку управлять величиной другого сомножителя в правой части (7.7) затруднительно. Так как коэффициенты однозначно определяются через из (7.5), то приходим к следующей оптимизационной задаче: найти такие вещественные различные и отличные от нуля числа а;., а;.<1, к=1, 2,...,п, чтобы минимизировать целевую функцию

к = 1

Для некоторых конкретных значений л такие числа определены

Итак, линейная комбинация реэхций цепи (7.3) дает возможность вьщелить для идентификации один член ряда Вольтерры. Опишем способ определения ядра этого члена ряда вначале во временной области.

Начнем с ядра первого порядка. Пусть внешним воздействием будет импульсная ф.ункция Дирака

х(П =5(0-Тогда

J hi(T)xit~T)dT= J Ai(r)6(f-r)dT = Ai(0-

- oo - oo

Таким образом, как это хорошо известно из теории линейных цепей, ядро первого порядка - это реакция цепи на воздействие в виде единичной импульсной функции.

Перейдем к идентификации ядра второго порядка. Пусть внешнее воздействие состоит из двух импульсных функций, сдвинутых на время Т.

;с(0 =5(0 +5(f- Г). Тогда

оо оо - оо - оо

= Г J Й2(Г1,Т2) [6(/-Ti) +5(f- Г-Т1)][5(Г-Г2) -t-

- ОО - оо

ОО оо

-t-5(f-7-Т2)]т,Т2= J J Й2(гьТ2)[6(Г-Т1)5(?-Т2) -t-

- ОО - оо

+ b{t-T-Ty)b{t-T2) +8{t-Ti)8{t-T-T2) +8(t-T-Ti) X

X5(f- Т- T2)]dTidT2 = hiit, t) +h2(t- T, t) +h2(t,t- T) +

+ h2{t-T,t-T). (7.8)

Так как ядро симметриэовано, то h2{t - Т, t)=h2{t, t-T). Для определения Й2(Г, О достаточно положитьх(О =5 (О. ибо

оо оо

/ / Й2(Т1,Г2)5(Г-Т1)5(/-Т2)й?Т1Т2 = Й2(?,0-- оо - оо

Таким образом, полный алгоритм определения ядра второго порядка в соответствии со сказанным состоит в следующем:

1. Предполагаем, что ряд Вольтерры с достаточной точностью можно заменить суммой первых п его членов. Дать общие рекомендации по выбору числа п затруднительно. Часто берут n = 3-S. Чем больше п, тем меньше влияние отброшенных членов, однако тем больше проводится тестовых испытаний и тем больше погрешность при обработке результатов экспериментов.

2. Подаем на вход цепи поочередно воздействия б (О и измеряем реакции7[а;.5(01, г=1,2,...,и.

3. Находим Й2(Г, t):

п

2(/,0= 2 а,; [а,6(0]. = 1

6-1056 161