Если из этого выражения выделить гармонические составляющие с частотой coi +со2> то, учитывая симметрию ядер, найдем, что эти составляющие в сумме равны

>1Я2(/С01./С02)] C0S[(C0, + C02)f + агвЯ20 со1, /СО2)]. (7.9)

Таким образом, здесь содержится информация о модуле и аргументе Фурье-изображения ядра второго порядка.

Общий алгоритм определения ядер второго порядка в области изображений во многих чертах схож с алгоритмом идентификации во временной области.

После подачи на вход цепи воздействий вида

ax{t) = UrA cosojit + UrA cos oJit, r= 1,2.....n

и измерения соответствующих реакций y[arx{t)] образуем выражение вида (7.3) при /п = 2. В полученном выражении выделяем гармоническую составляющую с частотой oji -1-002- Так как эта составляющая имеет вид (7.9), то отсюда находим Я2(/001, /002)! и zTgHiQci,

/Cjj).

Аналогичным образом для определения изображений ядер fc-ro порядка (к > 2) на цепь подаются входные сигналы

к

ax(r)=a S Acosuijt (7.10)

/= 1

или в более общем случае

arx(t)=ar 2 yl,cos (сО;Г-i-)3;), (7.11)

г = 1

измеряются реакции у [ог X (f) ] и в выражении (7.3) при ?7г= А: выделяется гармоническая составляющая с частотой cji+СО2 + +it-При практическом использовании описанной методики необходимо соблюдать известную осторожность в выборе частот соь 002, jt-Дело в том, что, как нетрудно проверить, при воздействиях вида (7.10) или (7.11) все гармонические составляющие в (7.3) при т=к имеют частоты, определяемые выражением

к

1= 1

где Qi - целые числа, удовлетворяющие условию

к

S \q,\=k. I = 1

Для применения вышеизложенной методики необходимо, чтобы равенство к к

/= 1 /= 1

могло выполняться только тогда, когда =<?/,/ = 1, 2,..., к.

Это накладывает определенные ограничения на выбор частот oji, со2, .. ., со т. е. ядра определяются не в любых точках пространства с координатами coi, coj,---, Ядра в промежуточных точках находятся путем интерполяции.

Идентификация цепей при болыиих амплитудах внешних воздействий. При достаточно больших амплитудах внешних воздействий реакцию цепи нельзя представить в виде функционального ряда, так как радиусы сходимости рядов обычно ограниченны. Тем не менее во многих случаях оказывается возможным приближенно представить реакцию цепи в виде функционального полинома Вольтерры. Принципиальг но такая возможность следует из теоремы Фреше [29]. Из нее вытекает, что если зависимость реакции от воздействия описьгоается непрерывным оператором, то при любом множестве внешних воздействий, равномерно ограниченных по норме, можно найти функциональный полином Вольтерры, аппроксимирующий с заданной точностью реакции цепи на эти воздействия на заданном конечном отрезке времени.

Доказательство теоремы Фреше непосредственно не содержит конструктивного и удобного для практики способа построения указанных функциональных полиномов. Один из конструктивных подходов заключается в применении методики, изложенной выше для слабонелинейного режима. Разница заключается в том, что теперь не нужно требовать достаточно малых амплитуд входных воздействий. Однако в противовес этому положительному факту появляются и дополнительные трудности. Если для слабонелинейного режима часто достаточно было заменить ряд Вольтерры двумя-тремя первыми членами, то нелинейные цепи в режиме большого сигнала могут потребовать большого числа слагаемых функциональных полиномов, что приведет к увеличению вычислительных трудностей.

Вторая проблема состоит в том, что если даже удается преодолеть указанные трудности и построить функциональный полином довольно высокой степени, возникает вопрос, как с ним работать. Непосредственный расчет интегралов Вольтерры, содержащих ядра хотя бы четвертого, пятого порядков, не говоря уже о более высоких, часто встречает значительные вычислительные трудности. Модель фрагмента цепи, записанную в виде функционального полинома Вольтерры, не всегда удобно стыковать с моделями других фрагментов цепи, особенно если модели последних не являются полиномами Вольтерры. 166

Эти и подобные им проблемы привели к тому, что инженеры стали искать упрощенные формы функциональных полиномов, дающие возможность облегчить вычисления. Одно из рещений - использование ВП-полиномов (см. главу 6). Так, к примеру, щироко используется оператор Гаммерщтейна [12]. В несколько упрощенной форме он имеет вид

y[x{t)] = S Я^(р) [xit)r

к = I

(7.12)

Таким образом, прежде всего предполагается справедливой гипотеза о том, что оператор, описывающий соотношение вход-выход исследуемой цепи, с достаточной точностью аппроксимируется оператором (7.12) на заданном классе сигналов x(t) иу{1). Выбираем число и и по тестовым испытаниям определяем операторы Н; (р). Последнее можно выполнить многими способами. Некоторые из них сводят задачу к определению частотных характеристик передаточных функций. Если рассматривать Щ(р) как функции от р, то оператор (7.12) будет полностью определен, если найдены функции ЩЦш). Действительно, эти функции позволяют определить в (7.12) у [х (?) ] по заданной функции x(t). Для этого вначале вычисляется преобразование Фурье функций [х (/) ] * (fc = 1, 2,...,п), т. е. F I [х (О ] * t . Затем рассчитывается функция*

Е^Я^Ос)! [х(0]

после чего вычисляется обратное преобразование Фурье.

Для определения функций Я^(/ш) можно подать на вход исследуемой цепи поочередно п воздействий Xi{t), Xiit),.. .,Xn{t) и измерить реакции на них y[xi(t)], y[x2{t)].....y[x (t)]. Тогда

из (7.12) получим и уравнений

y\xm(t)]

к=1

[Xm{t)]

I ,т = \,...,п.

(7.13)

содержащих и неизвестныхЯ О ). к=\,2,.. .,п.

При некоторых значениях Xj{t) можно гарантировать отличие от нуля определителя системы (7.13). К примеру, если Xjt (?) =a;.5i(f), где 5i(r) - единичная ступенчатая функция, а ttj. - различные, отлича-юыдиеся от нуля числа, к=\,2, . . .,п, то нетрудно видеть, что определитель системы (7.13) пропорционален определителю Вандермонда и потому отличен от нуля. Тем самым, решив систему (7.13), можно определить функции Щ (/со), А: = 1, 2,..., и.