личных опытах рабочие точки не попадапи на одни и те же линейные участки вольт-амперных характеристик, то в этом случае из равенства нулю определителя матрицы В следует наличие обрьгоа или короткого замыкания хотя бы в одном нелинейном элементе.

Если число нелинейных элементов равно т и т> п, то, пользуясь указанной априорной информацией, можно в ряде случаев так выбрать входные напряжения, чтобы во всех опытах рабочие точки т~п нелинейных элементов находились на одних и тех же линейных участках вольт-амперных характеристик (например, в режиме насыщения). Пщ этом указанные элементы не проявляют своих нелинейных свойств и общее число нелинейных элементов снова оказывается равным и. Диагностике подлежат именно эти л элементоЬ.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ И ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

8.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Исследование свойств нелинейных электрических цепей не исчерпывается изучением численных значений или аналитических выражений, полученных при решении уравнений, описываюищх цепи. Инженеру часто требуется дополнительная информация общего, качественного характера о свойствах данной цепи или множества цепей, принадлежащих некоторому классу. Эта информация особенно важна на этапе предварительного проектирования электротехнических и электронных устройств, когда проектировщик, не имея еще конкретной цепи, использует собственный опыт, интуицию и сведения об обищх свойствах некоторых классов цепей.

Приведем примеры такого рода общих свойств цепей, облегчающих проектирование. Предположим, что требуется построить цепь, которая при заданном периодическом воздействии имела бы заданную периодическую реакцию с тем же периодом. ДДя практической реализации недостаточно просто указать схему цепи, обладающей данным свойством. Реальная цепь, построенная по указанной схеме, может не дать нужного результата, так как требуемое периодическое решение будет либо неустойчивым, либо неединственным. Следовательно, инженеру придется решать дополнительные задачи. Поэтому было бы желательно иметь заранее сведения о таком классе цепей, который бы обеспечивал устойчивость и единственность периодического реше-

ния. Тогда можно было бы искомую цепь выбрать иэ цепей указанного класса.

Другой пример. На стадии предварительного проектирования желательно иметь хотя бы ориентировочные оценки максимальных напряжений, токов, мощностей, вьщеляющихся на элементах цепи. Эти данные позволяют правильно выбрать элементный базис цепи. Конечно, после того как цепь синтезирована, имеется возможность провести дополнительный анализ и получить необходимые сведения. Однако этот путь не всегда эффективен, во-первых, из-за дополнительных затрат машинного времени, а во-вторых, из-за его неопределенности. Ведь если расчет показал, что указанные максимальные значения превышают допустимые, приходится рассчитьгоать новую цепь, для которой снова ее пригодность может быть проверена только после того, как цепь синтезирована.

Третий пример относится к тому случаю, когда априорная информация о свойствах цепи позволяет проектировщику избежать заведомо ложных путей исследования. Предположим, что поставлена задача построить цепь, которая при постоянных внешних воздействиях должна иметь периодическую реакцию (автоколебательная цепь). При этом требуется построить цепь в элементном базисе, содержащем линейные элементы R, L, С и нелинейные резисторы с неубывающими вольт-амперными характеристиками. Инженер заранее сможет избежать ненужных усилий по решению задачи, если будет знать, что существует теорема, утверждающая, что построить требуемую цепь в указанном элементном базисе невозможно.

Эти и подобные им примеры свидетельствуют, что чем больше сведений имеется об обидих, качественных свойствах цепи, тем легче проходит этап проектирования.

Каковы же пути выяснения этих общих свойств цепи? В настоящее время наиболее эффективным способом получения информации об обидих свойствах цепи является использование энергетических соображений и связанных с ними частотных методов. Соответствуюцще подходы описаны в следующих параграфах.

8.2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СВОЙСТВ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

Пусть задана электрическая цепь произвольной топологии. Закон сохранения энергии дает возможность записать уравнение баланса мощностей в цепи

2 д.(0г^(П =0. (8.1)

к

Здесь суммирование ведется по всем ветвям цепи; Uj{t) - напряжение на к-й ветви; (f) - ток через к-ю ветвь.

Предполагается, что положительное направление напряжения Uj(t) и тока i)i(t) согласованы, например, так, как показано на рис. 8.1.

Теорема Телледжена утверждает, что равенство (8.1) можно существенно обобщить, а именнооно остается справедливым, если все Uj{t) заменить произвольными функциями времени xit), удовлетворяющими системе независимых уравнений 2-го закона Кирхгофа для цепи, а все i](it) заменить произвольными функциями времени (f), Удовлетворяющими системе независимых уравнений 1-го закона Кирхгофа, т. е. справедливо равенство

xit)y(t)=0. (8.2)

Таким образом, основное отличие (8.1) от (8.2) состоит в том, что если Ui(t) и ijt(0 в (8.1) связаны между собой уравнениями, определяемыми элементами, входящими в к-ю ветвь (например, =

= Rii. для резистора, u,=L--- для индуктивности и т. д.), то

переменные х^ (О и (t) могут не иметь такой связи.

Теорема Телледжена доказывается во многих монографиях и учебниках, и поэтому доказательство здесь не приводится [28].

Приведем вначале простой пример, демонстрирующий эффективность общих рассуждений и используюцщй лишь закон сохранения энергии, т. е. теорему Телледжена, в простейшей формуле (8.1).

На рис. 8.2 изображена цепь, находящаяся при f > О под воздействием постоянного напряжения U, причем при f = О запасы энергии в емкостях и индуктивностях были равны нулю. Можно ли, не выполняя полного расчета цепи, определить, сколько энергии вьщелится во всех резисторах за все время переходного процесса? Оказывается, чтобы дать положительный ответ на этот вопрос, не требуется даже

Рис. 8.1

а

Риа 8.2