Отметим, что если в качестве реакции цепи принять напряжение м„ на нелинейном резисторе, то цепь не обязательно будет конвергентной. Условия (8.28) и (8.29) не исключают напичия горизонтальных участков на волы-амперной характеристике нелинейного резистора (рис. 8.6). Поэтому, если параметры цепи и источник напряжения выбраны так, что при t °° I (f) /, то напряжение на нелинейном элементе может принимать любые значения между Mi и м 2

Полученный результат нетрудно обобщить на тот случай, когда рассматривается не одна, а несколько реакций в цепи. Пусть задана цепь, содержащая произвольное число источников напряжения и тока, линейных элементов R, L, С, М и двухполюсных линейных резисторов. В качестве реакции цепи будем рассматривать токи через нелинейные резисторы ii(0, 2(0. и (О-

Пусть i (г) - вектор-функция реакций при некоторых начальных условиях:

i(0 = [iUt) Ф) . . . iUOV.

а i (0 - вектор-функция тех же реакций при других начальных условиях:

i (0= [i (0 2(0 . . . in{t)V.

Мерой близости вектор-функций при t °° будем считать величину i(0-i (0

= /1

2 J [ifc(o-i;(o]rff-it = 1 f

Пусть i=f{U) - вольт-амперная характеристика к-то нелинейного резистора, к = \, 2,.. .,п, и каждая из функций Д. удовлетворяет условиям (8.28) и (8.29).

Тогда почти дословным повторением предьщуидих рассуждений можно показать, что рассматриваемая цепь будет конвергентной, т. е.

lim i(0-i (OII =0.

До сих пор предполагалось, что линейная часть цепи содержит элементы R, L, С, М. Можно доказать аналогичный результат и для некоторых классов цепей, содержащих активные элементы, например усилители. В этом случае необходимо наложить определенные ограничения на линейную часть цепи.

Рассмотрим снова цепь, содержащую произвольное число независимых источников, линейных элементов R, L, С, М, а также линейных управляемых источников. Пусть цепь содержит также п нелинейных двухполюсных резисторов, вольт-амперные характеристики которых i = fj(u), к = 1, 2,...,п, удовлетворяют условиям (8.28) и (8.29). Закоротим независимые источники напряжения, оборвем ветви с независимыми источниками тока и будем рассматривать линейную цепь относительно точек присоединения нелинейных резисторов, как линейный 2И-П0ЛЮСНИК. Предположим, что он удовлетворяет следуюищм условиям:

а) существует матрица сопротивлений этого многополюсника Z (р);

б) элементы Zj (р) матрицы Z (р) - дробно-рациональные функции р, все полюсы которых лежат в левой полуплоскости; г, к = 1, 2,. . . . .., л;

в) матрица Эрмита

Z(/w) -I- [Z(-/co)]

является положительно полуопределенной при любом w > 0.

При этих условиях в теории линейных цепей [18] доказывается, что при любых начальных условиях энергия, генерируемая (именно генерируемая, а не потребляемая!) на всех вьгоодах многополюсника, не может при любом f > О превысить некоторой константы с, не зависящей от времени, а зависящей только от начальных условий.

Но в таком случае можно снова повторить предьщущие рассуждения и доказать, что рассматриваемая цепь является конвергентной по отношению к токам, протекающим через нелинейные элементы.

В литературе, особенно математической, встречается определение конвергентности, накладывающее более жесткие требования. Именно, цепь называется конвергентной, если:

1. При периодическом воздействии с периодом 7 установившаяся реакция также является периодической с тем же периодом.

2. Имеет место свойство (8.27).

Можно показать [13], что при тех условиях, которые выше бьши наложены на конвергентные цепи, выполняется как свойство 1, так и свойство 2, т. е. рассмотренные выше цепи конвергентны и при другом определении конвергентности.

8.4. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

В предьщущем параграфе рассмотрены цепи, в которых периодический режим устойчив в больщом, т. е. при любых начальных условиях реакция цепи при t °° стремится к периодической функции и эта периодическая функция не зависит от начальных условий. В частности, если внещнее воздействие равно нулю, то и реакция при любых начальных условиях стремится к нулю. В последнем случае говорят, что цепь имеет устойчивое положение равновесия.

Однако, если интересоваться только положением равновесия в цепи, не заботясь о реакциях на другие воздействия, то можно получить значительно более сильные условия устойчивости. Важность получения таких условий очевидна. Очень многие цепи работают при импульсных воздействиях, и требуется, чтобы цепь вернулась в исходное состояние по истечении некоторого времени независимо от вида приложенного импульса. На практике требуется даже больщее. Так как точно реализовать параметры цепи, рассчитанной теоретически, не удается, то нужно получить условие устойчивого равновесия не для конкретной цепи, а для множества цепей, полученных из исходной произвольным изменением параметров в некоторых пределах.

Дадим точную постановку задачи для цепи, представляющей собой последовательное соединение линейного двухполюсника Z (р) и нелинейного резистора (рис. 8.7). Пусть при нулевых начальных условиях ток I (г) равен нулю. Этот режим будем назьгоать асимптотически устойчивым в целом, когда выполняется следующее условие: если i{t) -ток в цепи при произвольных начальных условиях, то i{t) 0 при

f -> оо .

Таким образом, приведенное определение относится к цепи с фиксированными параметрами элементов. При конкретной реализации цепи обычно труднее всего реализовать с заданной точностью нелинейную характеристику. Поэтому будем рассматривать класс цепей, в которых Z ip) - фиксированное сопротивление линейной части цепи, а вольт-амперная характеристика i =р{и) нелинейного резистора принадлежит некоторому множеству характеристик М,

1(Ь).

(м) е М. (8.35)

Будем говорить, что для рассматриваемого класса цепей имеет место абсолютная устойчивость, если для любой цепи этого класса ток в ней удовлетворяет условию устойчивости в целом.

Конкретизируем условия, наложенные на линейную и нелинейную части Рис. 8.7