цепи. Будем считать, что Z(p) - дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами, у которой все полюсы лежат строго в левой полуплоскости. Условие (8.35) конкретизируем следующим образом. Пусть i(u) - произвольная однозначная кусочно-непрерывная функция, определенная при любом и и удовлетворяющая условию 1(0) =0. Множество М в (8.35) зададим следующими условиями. Функция 1 (м) должна удовлетворять неравенствам

О < - < к, (8.36)

и

где к - положительное фиксированное число. Возможно ик = °°.

Для цепей описанного вида имеет место следующий частотный критерий абсолютной устойчивости, полученный В. М. Поповым [1]. Для того чтобы любая цепь из вышеописанного класса была абсолютно устойчивой, достаточно, чтобы существовало такое вещественное число q, при котором при любом w > О вьшолняется условие

Re(l+/?w)ZO cj) + - >0. (8.37)

к

Не приводя полного доказательства теоремы В. М. Попова (оно имеется, например, в [1]), отметим лишь главные его черты, опира-юцщеся на энергетические соображения, подобные тем, что указаны в предыдущем параграфе.

Составим уравнение цепи рис. 8.7:

Z(p)i-bM = 0, р= -; (8.38)

здесь Ми - напряжение на нелинейном резисторе. Продифференцируем обе части равенства:

pZ(p)i+ =0. (8.39)

Умножим (8.39) на некоторое число q и сложим с (8.38):

[Z(p) +qpZ(p)]i+u + q- =0. (8.40)

Так как i = (м„), то (8.40) можно переписать так:

Z(p) +qrjZ (р) + - к

1 и

p(u ) +и^-- p{u )+q- =0. (8.41)

Это уравнение - основной объект исследования.

Будем пока считать, что > 0. Пусть при этом? выполнено условие (8.37). Тогда вследствие того, что все полюсы Z (р) лежат строго в левой полуплоскости, функция Z1 (р) = Z (р) + qpZ (р) + - является положительной вещественной функцией - ПВФ [25]. Поэтому член Zi(p)i(m ) в уравнении (8.41) можно трактовать как напряжение на линейном двухполюснике с сопротивлением Zi(p) при токе г=1(м„). Поскольку Zi(p) есть ПВФ, можно показать, что энергия, генерируемая на выводах такого двухполюсника, не может превосходить некоторого постоянного значения С, зависящего от начальных условий в цепи.

Уравнение (8.41) можно трактовать как описывающее последовательное соединение грех двухполюсников: двухполюсника Zi(p),

двухполюсника с напряжением м„ - - /( и) и двухполюсника с на-пряжением q--- .

Покажем, что двухполюсник с напряжением и^- - <р(и„) является пассивным. Мощность, выделяемая на нем, равна

= (м„)

и--V( h)

к

н--¥( н)

к

Согласно (8.36) это выражение неотрицательно, т. е. двухполюсник может только потреблять энергию.

Рассмотрим энергию, вьщеляемую на выводах третьего двухполюсника:

t dUftit) t dUfi

(0 = n(t)q - dtqi (m ) -- dt =

Q dt Q dt

= q j ip{u )dUfi= -q S p(u )du - J (м„)й?м„. (8.42) .;;(0) 0 0

Так как в соответствии с (8.36) функция i(mh) целиком расположена в первом и третьем квадрантах, то последнее слагаемое в (8.42) неотрицательно. Верхний предел в нем зависит только от начальных условий. Таким образом, если энергия w(t) может быть отрицательной, то абсолютное значение ее не может превышать некоторую константу ci, зависящую от начальных условий и не зависящую от t.

Итак, цепь, описываемая уравнением (8.41), состоит из элементов, которые за весь промежуток времени от О до < способны генери-

7-1056 193

ровать лишь конечное количество энергии. Отсюда и можно сделать вывод, что ток в такой цепи должен стремиться к нулю при f < . Строгое доказательство этого факта приведено, как отмечалось, в [1]. Там же показано, что с помощью простых преобразований случай q < < О можно свести к случаю > 0. Кроме того, в [1] отдельно рассмотрен пример, когда не все полюсы Z (р) лежат строго в левой полуплоскости, а часть из них лежит на мнимой оси.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ

СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ

9.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА

Под синтезом нелинейных резистивных цепей обычно понимают построение электрической цепи, содержащей в общем случае нелинейные резисторы, усилители, источники постоянного напряжения и тока и обладающей требуемой зависимостью вектора выходных сигналов у от вектора входных сигналов х

y = f(x). (9.1)

Устройства, осуществляюцще преобразования вида (9.1), часто называют функциональными преобразователями. Таким образом, нелинейные резистивные цепи - это частный случай функциональных преобразователей. Другими примерами функциональных преобразователей являются цифровые преобразователи, аналого-цифровые преобразователи, резистивные цепи с переменными параметрами.

Бесспорно, что благодаря развитию современной микропроцессорной техники и широкому применению ЭВМ имеется возможность строить специализированные и универсальные цифровые и аналого-цифровые преобразователи, реализуюище с высокой точностью соотношения вида (9.1). Однако это не означает, что функциональные преобразователи на базе нелинейных резистивных цепей утратили свою роль. Они имеют свои достоинства, связанные с большим быстродействием, простотой, надежностью. Поэтому в тех задачах, где указанные качества имеют важное значение и не требуется очень высокой точности преобразования, функциональные преобразователи на брзе нелинейных резистивных цепей находят широкое применение.

В первую очередь это относится к резистивным двухполюсникам, реализующим заданные вольт-амперные характеристики. Такие двух-