Главная  Нелинейные электрические цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

Действительно, для r-й гарлжзники в силу (10.14) находим

п

I 2пг\

Аг= S Я,.

Отсюда, учитывая (10.17), получим тождество.

Отметим, что (10.17) накладьшает определенные ограничения на применимость рассматриваемого подхода. Так как реализовать передаточные функции с бесконечным усилением невозможно, то из (10.17) вытекает требование, чтобы Bjc не было равно нулю, когда Аг ФО.

В качестве примера рассмотрим синтез цепи, которую можно назвать удвоитель частоты - стабилизатор. Эта цепь при входном напряжении х(а, t) =acoscL)f должна давать на выходе в установившемся режиме напряжение

y(a,t) =f(a)cos2wt, (10.18)

причем f(a) 1, если 0,9 < а < 1,1.

Условие (10.18) можно выполнить, если аппроксимировать функ-цию/(а) в указанном интервале а полиномом/i (а);

к = 1

Этот полином целесообразно выбрать таким, чтобы для нечетных к выполнялось условие С/ = 0.

В этом случае в модели (10.14) будут только слагаемые с четными номерами. Для решения задачи об удвоении частоты нужны именно такие слагаемые.

На основе сказанного можно предложить следующий полином

fi(a) =3а'-3а' -f- а'.

Задача о том, является ли этот полином оптимальным, не рассматривалась, но нетрудно убедиться в том, что если 0,9 < а < 1,1, то

И -ri(a)l <0,01.

Таким образом, изменение амплитуды входного сигнала на 10% приводит к отклонению амплитуды выходного сигнала не более чем на 1%.

Для получения передаточных функций HkQo) запишем ряды Фурье для четных степеней cos шТ:

(coscjf) =0,5 -t-0,5 cos 2соf; 216



(coscof) =0,375 +0,5 cos 2шГ+0,125 cos 4cof;

(coscof)=~ + cos 2co + - cos4cor + - 16 32 16 32

Отсюда на основе (10.17) получаем Hi = H3=Hs=0; Я2(0) =Я4(0) =Яб(0) =0; Я2(/2а;) =6; Hfli) =-6; Не{П<) =

cos 6cof.

Я2(/4а;) =Я4(/4а;) =Яб(/4а;) =Я2(/6а;) =Я4(/6а;) =Яб(/6а;) =0.

Один из возможных вариантов реализации цепи показан на рис. 10.6. В этой цепи вместо трех безынерционных преобразователей х', л: и л:* и соответственно трех передаточных функций, как того требует модель (10.14), использован один преобразователь и одна линейная цепь. Это оказалось возможным потому, что x{t) представляет собой гармонический сигнал. Параметры цепи можно выбрать бесконечным числом способов, но требуется выполнение соотношений:

= 4а;;

= 6со и Za6(j2oj)=0,

где - сопротивление продольной ветви между точками а и б на. рис. 10.6.

Перейдем к более сложной задаче синтеза, когда выходной сигнал зависит от параметра а следуюидим образом:

yia,t)= S к = 1

Входной сигнал по-прежнему задан в виде х{а, t) =а^ (?).

Эта задача может быть сведена к предыдушей. Для этого необходимо синтезировать отдельно п каналов, которые имеют на входе одно и то же напряжение х (а, Г), а на выходе к-то канала формируется сигнал a\pl{t) по изложенной выше методике. Затем все выходные сигналы суммируются.

yra,t)



Если еще более усложнить задачу и потребовать, чтобы и выходной сигнал у {а, t),a входной х(а, t) нелинейным образом зависели от а, то сейчас трудно указать достаточно простой и универсапьный способ решения этой задачи. Многое зависит от конкретного вида функ-ций X (а, t) ау (а, t). Некоторые подходы изложены в [12].

Многообещающий подход, реализованный уже для многих задач, предложен А. А. Ланнэ [23]. Он основан на идее так называемого расщепления. Пусть х(а, t) - входной сигнап, зависящий от непрерьгоного параметра а, а у (а, t) - желаемый непрерывный выходной сигнап.

Поставим вопрос, можно ли построить нелинейный безынерционный преобразователь, однозначно отображающий входной сигнал в выходной, т. е. существует ли однозначная функция / такая, что /(х) = = у с заданной точностью.

Ответ на этот вопрос в общем случае будет отрицательным. Действительно, если в различные моменты времени и 2 при фиксированном а

х{а, tl) = х{а, Г2),

то ввиду однозначности функции/ должно быть f[x{a,ti)] =/[х(а,Г2)],

y{a,ti) =y{,a,t2). (10.19)

Следовательно, если выходная функция (которая часто задается независимо от входной) не обладает свойством (10.19), то поставленная задача не имеет решения.

Для преодоления этой трудности А. А. Ланнэ предложил вначале преобразовать (расщепить) сигнал х{а, t) в несколько сигналов л: i (а, t), Х2(а, t), .. .,Хп (а, t). Эти несколько сигналов образуют вектор

х(а, О = [х,(а, О Х2(а, О .. .х„(,а, t)],

который должен обладать спедуюищм свойством: если а^А, ti ФГг, то при любых ai е Л и а2 е Л

х(а, tl) Фх{а, ?2) (10.20)

Дапее строится полином f(xi, Хг, .,х„) относительно л переменных такой, что с заданной точностью

у(а, t) =f[xiia, t), X2(a,t),...,x (a,t)]. (10.21)

Условие (10.20) гарантирует, что в разные моменты времени переменные Xi, Х2, , х„ будут принимать различные значения, а значит, не возникает проблемы, связанной с нежелательным равенством (10.19)-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85