Отсюда видно, что если Ха J > 1, то

Таким образом, соотношение между входным и выходным напряжением становится линейным.

Анапогичным образом можно решить задачу уменьшения нелинейных искажений линейными цепями обратной связи и для случая, когда исходный четырехполюсник является инерционным. Пусть, например, соотношение вход-выход исходной цепи на рис. 10.7 описьгоается ВП-полиномом (см. главу 6)

U2(t)=H(p)ui(t)+A(p)ui{t). (10.29)

Здесь Я(р) - линейный оператор, А(р) - ВП-полином, содержащий слагаемые не ниже второй степени.

Проведя почги дословно те же рассуждения, что и раньше, приходим к вьшоду, что в том диапазоне частот, где Я(/ш)М > 1, получим

Ml i \ Ыг-

Таким образом, если спектры входных и выходных сигналов лежат в указанном диапазоне частот, то можно добиться определенной компенсации нелинейных искажений.

Приведенная методика при всей ее простоте не всегда технически реализуема. Во-первых, включение цепи обратной связи может привести к неустойчивости всей цепи. Во-вторых, левые или правые вьгооды исходного четырехполюсника - это модель реального устройства, у которого выходные или входные сигналы могут иметь неэлектрическую природу. К примеру, исходная цепь может моделировать тракт электроакустического преобразователя радиовещательной аппаратуры. В этом случае входные переменные имеют электрическую природу, а выходное напряжение моделирует звуковое давление. Таким образом, здесь единственный способ подключения корректирующей цепи - присоединение ее каскадно между источником входного сигнала и левыми выводами цепи на рис. 10.7. Точно так же, если левые выводы цепи имеют неэлектрическую природу, то единственный способ включения корректирующей цепи - присоединение ее каскадно между правыми выводами цепи и нагрузкой.

В дальнейшем изучаются именно эти случаи - каскадное включение корректирующей цепи либо перед исходным четырехполюсником, либо после него. Как будет видно из нижеизложенного, здесь уже не удается ограничиться линейной цепью и приходится решать более сложную задачу синтеза нелинейной корректирующей цепи.

Вначале уточним постановку задачи и выясним, что понимается под уменьшением нелинейных искажений в строгом математическом смысле.

Прежде всего должно быть задано математическое описание зависимости и2 от Ml для цепи на рис. 10.7. Будем считать, что нелинейные искажения малы, то есть эта цепь работает в слабонелинейном режиме. Такое предположение соответствует практике, так как если устройство задумано как линейное, то при качественном исполнении оно действительно будет мало отличаться от линейного.

В этом случае при некоторых не очень жестких ограничениях целесообразно описывать соотношение вход-выход для цепи на рис. 10.7 в виде функционального ряда Вольтерры (см. главу 6), а точнее его отрезка, т. е. функционального полинома. Такой полином может быть построен методами идентификации, описанными в главе 7. Пусть он имеет вид

U2(0= S J .. . J (Ti,...,T;t) П M,(f-T,)dT,. (10.30) fe=l-оораз-оо г = I

Так как это отрезок сходящегося ряда Вольтерры, то естественно считать, чго с ростом номера к слагаемые убьшают по норме. Поэтому наибольшие нелинейные искажения вносят члены с малыми номерами (А: = 2, 3, . . .). Отсюда делаем вьгоод: корректирующую цепь следует проектировать так, чтобы функциональный ряд, описьгоаю-щий соотношение вход-выход для результирующей цепи, содержал линейный член (к=\), а далее несколько следующих членов ряда равнялись нулю.

Все решения поставленной задачи, предложенные в литературе в явном или неявном виде, предполагают, что отрезок ряда Вольтерры (10.30) представляет собой ВП-полином. Опишем общий подход к решению задачи в этом случае.

Пусть описание вход-выход исходной цепи задано в виде следующего ВП-полинома:

2(0 =i(p) i(0 +A2(p)ui{t) +... +An(p)uiit). (10.31)

Здесь А^ (р) - ВП-полином. содержащий слагаемые только к-й степени, к = 1,2,. ..

Запишем соотношение (10.31) коротко:

2(0 =Л(р)м1(0.

Идея синтеза компенсирующей цепи состоит в отыскании обратного операторах (р), дающего соотношение

Ui(t) =A-4p)u2(t), (10.32)

и в реализации этого обратного оператора.

Цепь, реализующая этот оператор, включается каскадно перед исходной цепью или после нее. И в том и в другом случае соотношение Вход-выход для цепи с коррекцией имеет вид

2(0 = l(0-

Такое соотношение характеризует, естественно, идеальный случай. В действительности получаются приближенные соотношения, которые обсуждаются ниже.

Если (10.31) - это отрезок сходящегося ряда Вольтерры, то обратный оператор Л (р) существует и правая часть (10.32) тоже представляет собой ряд Вольтерры. Найти этот ряд помогает то обстоятельство, что (10.31) представляет собой не просто функциональный полином Вольтерры, а ВП-полином.

Алгоритм обращения ВП-полиномов использует итерации Пикара иприведенв [12]. Опишем его.

Решим уравнение (10.31) относительно Mi(0> пользуясь итерациями Пикара. Первая итерация получается, если в (10.31) сохранить только линейный член, т. е. сохранить уравнение

2(0 =i(p) P>(0.

i(i>(0 =r(p) 2(0- (10.33)

Так как Ai{p) - линейный оператор (обычная передаточная функция), то обратный операторе Г Чр) существует (по крайней мере в ограниченном спектре частот). Верхний индекс у напряжения /1(0 означает номер итерации. Следуюцще итерации определяются выражением

/>(0 =лг(р) 2(0-Г'(р) X

X [Л2(р) /->(0+---+Л(р) 1 (0], = 2,3,... (10.34)

При °о получаем ВП-ряд для i(0- Если взять отрезок этого ряда, то его можно реализовать с конечным числом элементов.

Пусть, к примеру, исходная цепь описывается следуюищм ВП-полиномом:

2(0 =Я1(р) .(0+Я2(р)[ [Яз(р) 1(0]} (10.35)

ЗдесьЯ1(р), Я2(р), Яз(р) - линейные операторы. Обратим (10.35). Первая итерация

(!> (О =я;(р) 2(0.

Вторая итерация р) (О =я- (р) 2(0 -Я.-(р)Я2(р) X

X ([Яз(р)Я1-(р) 2(0]} (10.36)

Если ограничиться этой итерацией, то (10.36) дает приближенное выражение для обращения выражения (10.35).