Главная  Нелинейные электрические цепи 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ

СИНТЕЗ АВТОГЕНЕРАТОРОВ И ДЕЛИТЕЛЕЙ ЧАСТОТЫ

11.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА

Если в нелинейной цепи или системе наблюдаются периодические колебания, в то время как внешнее воздействие является постоянным, то такой режим называется автоколебательным, а сама цепь часто называется автогенератором. Автогенераторы нашли широкое распространение в современной технике. Однако многие схемы автогенераторов разрабатывались изобретательским путем и до недавнего времени

сушествовало очень мало сколько-нибудь строгих и обидих подходов к синтезу автогенераторов. Лишь в последние 10-20 лет положение изменилось и появились достаточно обоснованные методы, опирающиеся на строгий математический аппарат и использующие широкие возможности современных ЭВМ. Некоторые из этих методов излагаются в следующем параграфе данной главы.

Если внешнее воздействие - периодическое с периодом Т, а реакция цепи - периодическая с периодом пТ {п>\ - целое число), то такие колебания называются субгармоническими. Сама цепь часто называется делителем частоты. Все сказанное выше об автогенераторах относится и к делителям частоты. Некоторые из современных методов синтеза делителей частоты излагаются в последнем параграфе данной главы.

Вначале выясним, можно ли построить автогенератор или делитель частоты с помощью линейной цепи. Теоретически ответ на этот вопрос положителен. Действительно, рассмотрим, к примеру, линейную цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов Z, и С. Хорошо известно, чго при постоянном напряжении на входе цепи ток в ней будет иметь синусоидальную форму с частотой oj = I/у/LC. Однако реализовать такую цепь невозможно, так как реальные индуктивности и емкости будут иметь потери энергии и колебания в цепи затухнут. Указанное препятствие можно было бы преодолеть, реализовав индуктивность и емкость с помощью активных цепей, позволяюидих скомпенсировать потери энергии. Однако такие цепи обладали бы очень низкой надежностью, так как малейшие отклонения параметров цепи приводили бы к смещению корней характеристического уравнения с мнимой оси либо в левую, либо в правую полуплоскость. В первом случае колебания затухнут, а во втором - будут неограниченно возрастать.



Другим недостатком подобных цепей является непостоянство амплитуды колебаний. Она зависит как от стабильности постоянного воздействия, так и от начальных условий. Эти и другие недостатки исключают создание автогенераторов с помощью линейных цепей. Те же соображения можно высказать и по поводу делителей частоты.

Таким образом, как автогенераторы, так и делители частоты должны быть синтезированы на основе нелинейных цепей. Перечислим задачи, возникаюцще в процессе синтеза.

1. Построение математической модели электрической цепи. Сюда входит конструирование уравнения или системы уравнений, решение которых дает требуемый режим автоколебаний или субгармонических колебаний. Однако только получить требуемое решение еще недостаточно. Необходимо обеспечить его устойчивость. Это значит, что уравнение должно быть сконструировано так, чтобы при любых начальных условиях из некоторой области переходный процесс стремился к заданному установившемуся периодическому режиму.

Кроме того, после малых кратковременных отклонений решения от установившегося оно при t °° снова должно стремиться к установившемуся.

2. Реализация математической модели. Здесь решается задача построения электрической цепи в заданном элементном базисе, уравнения которой совпадают с уравнениями математической модели. Если в качестве элементного базиса взять элементы современной аналоговой или цифровой техники, то синтез соответствующей цепи не вызовет особых затруднений. Сложнее обстоит дело тогда, когда элементный базис по каким-либо практическим соображениям ограничивается. К примеру, для мощных делителей частоты элементный базис состоит из реактивных элементов, причем нелинейность также задается заранее: это нелинейная вебер-амперная характеристика индуктивности. В этом случае задача заметно усложняется, этапы математического моделирования тесно переплетаются с этапом реализации, решения часто носят полуэвристический характер и их строгое обоснование встречает порой серьезные трудности.

3. Исследование полученного математического и схемного решения с помощью ЭВМ. Так как при реализации электрической цепи неизбежны отклонения параметров от расчетных, то необходимо убедиться в том, что такие отклонения не нарушат основного режима работы цепи. Для этого можно промоделировать в уравнениях цепи возможные отклонения и решить эти уравнения на ЭВМ. При этом можнЪ также менять и начальные условия. В результате таких расчетов выявляется отклонение формы колебаний от требуемой и определяется область начальных условий, в которой колебания остаются устойчивыми (область притяжения).

Так как наибольшие принципиальные трудности вызывает решение первой из трех перечисленных задач, то ниже рассматривается имен-



но эта задача. Из всех подходов к ее решению, описанных в литературе, выбраны те, которые наиболее разработаны и достаточно просты в идейном и практическом плане.

11.2. МЕТОДЫ СИНТЕЗА АВТОГЕНЕРАТОЮВ

1. В работах [40, 41] изложен метод конструирования дифферен-пильного уравнения второго порядка, решение которого дает требуемый периодический режим. Уравнение в общем случае имеет следующий вид:

dt \ dt Здесь / [л:,

= 0.

dx dt I

(11.1)

- однозначная функция двух переменных, кото-

рую нужно сконструировать так, чтобы уравнение (11.1) имело заданное периодическое решение. Предельный цикл, соответствующий этому решению на фазовой плоскости, должен быть аттрактором. Иными словами, все траектории вблизи предельного цикла должны притягиваться к нему. Это обеспечивает устойчивость автоколебательного режима. ,

Прежде всего отметим, чго требование однозначности функции / накладывает ограничения на возможные периодические решения уравнения (11.1). Действительно, если в некоторые моменты времени t = t\TAt - t-l {t, Фt2) имеют место равенства

x(ti) = х(?2);

dx dt

t = fl

dx dt

(11-2)

t = t2

TO отсюда в силу однозначности / следует, что

Xiti),

X{t2),

t = ti .

tt2-

Поэтому из (11.1) получаем

t = fl

(11.3)

f = Г2

Итак, если, задавшись требуемой периодической функцией x{t), мы обнаружим, что выполняются равенства (11.2), го должно выполняться и равенство (11.3). Очевидно, что если функция x{t) задана



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85