можно выбрать так, чтобы обеспечить неустойчивость в окрестности нуля, т. е. мягкое возбуждение и асимптотическую устойчивость по Ляпунову квазипериодических колебаний.

Для обеспечения условия мягкого возбуждения линеаризуем систему (11.38)

=(к+ .к2-)х

и выясним, при каких условиях матрица размерностью 4X4, стоящая в круглых скобках, имеет хотя бы одно собственное значение в правой полуплоскости. Опуская промежуточные выкладки, приведем сразу готовый результат. Для того чтобы система (11.38) была неустойчива в нуле, достаточно, чтобы вьшолнялось хотя бы одно из двух условий

То + Tiw? [( 2 - coj) + coicjj] >0;

(11.39)

То + 712 [(2 - i)* + 1W2] >0-

Для обеспечения асимптотической устойчивости по Ляпунову квазипериодического решения сделаем замену переменных

Уо = о-Х^Х; y,=g,-XKX. (11.40)

Очевидно,-что новые переменные и обращаются в нуль, когда X равняется требуемому квазипериодическому решению.

Чтобы записать уравнения в новых переменных, умножим слева уравнение (11.38) сначала на Х^, а затем на Х^К^:

d\ 1

Х^ - =Х^КХ+ S 7,-(?,--Х^к2Х)Х^к2Х;

dt = О

х^к^-=Х^К'Х+ S 7,-(?,--х^к2х)х^к2+2 х.

dt = о

Если учесть (11.34) и (11.36), то получим из (11.41) dyo 1

/ = О

(11.41)

=-2 2 v,-(?,--j,.);

(11.42)

i = О

В последнем уравнении слагаемое при i = О, т. е. уоД'оХК^Х, равно в силу (11.40)

7oJo(i-Ji). (11.43)

Что же касается слагаемого при i = 1, т. е.

то оно может быть выражено через новые переменные уо и yt исходя из следующих соображений. Составим характеристическое уравнение для матрицы К (11.27):

+ (b\~bl-bl)p+b]bl=0.

Согласно теореме Кэли-Гамильтона [46] матрица К (11.27) удовлетворяет своему характеристическому уравнению

К -!- (b]-bl-bl)K+ b\bl=0. Отсюда с учетом (11.28) находим

К = (С02 - COi) K-cj

Подставляя это значение в (11.44), получим njiXKX = 7iji[(co2-coOfei -yi) <1(го-Уо)]-

Итак, окончательно приходим к следующим двум уравнениям:

dt / = О

=-2 dt

yoyo(gi-yi) + nJi[(w2-w,) X

X (1 -yi) -yiyiilojligo -Уо)]-

(11.45)

После линеаризации этих уравнений в окрестности нуля приходим к выводу, что для асимптотической устойчивости по Ляпунову требуется, чтобы собственные числа матрицы

-2700 -2711

-27ofi -27i;ri(co2 - coi) -7ioWiCO

лежали в левой полуплоскости. 238

(И 45а)

Если задаться конкретными значениями ai и аг в (11.25), то по ним определяются go и g,. Отсюда уже можно получить количественные ограничения на 70 и 71. Так, например, в [34] показано, что если взять ai = аг = 0,5, то собственные числа матрицы (11.45) будут в левой полуплоскости, если

7o 7ico?a;. (11.46)

Итак, условия (11.39) и (11.46) в совокупности определяют ограничения на 7о и 71.

Основные этапы изложенной методики остаются неизменными при увеличении числа слагаемых в (11.25).

К недостаткам метода можно отнести то, что он обеспечивает лишь асимптотическую устойчивость по Ляпунову решения. Поэтому целесообразно провести машинные эксперименты с построенными уравнениями (11.45). Цель этих экспериментов - определить, насколько велика область притяжения в окрестности требуемого решения. Попутно можно выяснить, попадем ли мы из начала координат фазового пространств1а (из области мягкого возбуждения) на требуемое решение. Ведь может оказаться, чго фазовая траектория, исходящая из начала координат, будет притянута другим аттрактором (если он существует), отличным от требуемого решения. В рассмотренном выше двухчастотном случае этого не происходит, так как других аттракторов не имеется. -

3. Численный метод [9,10]. Развитие ЭВМ привело к тому, что целый ряд инженерных задач представлялось возможным решать методами, которые казались неприемлемыми и поэтому не рассматривались в математике и технике докомпьютерной эры. Для иллюстрации сказанного приведем простой пример.

Пусть требуется найти вещественные корни полинома Р(х) с вещественными коэффициентами при х е [хь Хг] До ЭВМ задача решалась бы с применением специальных методов, например метода Ньютона, схемы Горнера, метода Лобачевского-Греффа и т. д. В наше время инженер вполне может предпочесть этим методам другой, лобовой прием. Интервал Xi-Хг делится на достаточно большое число точек, и в каждой такой точке ЭВМ вычисляет значение Р{х). Те значения, которые по модулю меньше заданного е, принимаются равными нулю. Такой подход не является строгим, и есть риск ошибиться, так как полином Р{х) может не пересекать ось х в найденной точке, а лишь достаточно близко подходить к оси. Однако, идя на этот риск, инженер получает очень простой и наглядный метод, а вероятность ошибки на практике оказывается достаточно малой.

Аналогичный подход, использующий умение ЭВМ контролировать ситуацию в большом числе точек, может быть применен для синтеза автогенераторов. Эта идея описана в работах [9, 10]. Суть ее состоит в следующем.