ций - проекций векторов Е и Н на оси координат. Исключая из первых двух уравнений поочередно Е н Н, получаем уравнения второго порядка (неоднородные уравнения Гельмгольца):

VE + kE - i(B[xJ= -f- (1(ве)-1 grad div J=;

Решив одно из этих уравнений (например, для Е) и определив тем самым электрическое поле, магнитное поле можно найти с помощью уравнения (В.7). Полученные решения должны, кроме того, удовлетворять уравнениям (В.8) и (В.9).

Для описания электромагнитного поля в одиородной и изотропной средах удобно использовать электрический и магнитный векторы Герца Г* и Г * (последний иногда называют вектором Фитцджеральда), связанные с электрическим и магнитным полями соотношениями:

Е = grad div Р -f к^Г' - - rot Г' - {те)- (2.1)

Н = те rot Г' = grad div Г' + к^Г . (2.2)

Подставив эти выражения в уравнения Максвелла, можно убе-дитьси, что векторы Герца удовлетворяют уравнениям Гельмгольца:

Г' + к^Г' = - (ше)-Ч ; (2.3)

VE-f/%2Г' = - A!-2rotJ . (2.4)

В записанных выше уравнениях наиболее простую правую часть имеет уравнение (2.3). Его решение записывается в виде

P(q) = -(ic £)- jjcT(P)G(P, Q)dVp, (2.5)

тде Q - точка, в которой вычисляется поле (точка наблюдения), Р - точка, в которой определяются плотность стороннего тока (точка источника); G{P, Q) - функция Грина уравнения Гельмгольца. Отметим, что направление вектора Герца совпадает с на-лравлением возбуждающего его тока.

В трехмерном пространстве функция Грина

тде RpQ - расстояние между точками Р и Q. В двумерном пространстве она выражается через функцию Ханкеля второго рода нулевого порядка: G (я, Q) = (4i) я, (kRpQ ).

Эти выражения описывают волны, расходящиеся от источника. Аналогично можно записать функции Грина для сходящихся волн. Для замкнутых областей, в которых волны многократно отражаются от границ, удобно использовать лииейиую комбинацию функций, соответствующих сходящимся и расходящимся волнам и описывающую стоячие волны. В трехмерном пространстве такой комбинацией является

G (Р, Q) : COS {kRpQ)li47zRpQ), (2.6)

а в двумерьо.м -

G(P, Q)=.Yo{kRpQ), (2.7)

тде Yu(x)-функция Бесселя второго рода нулевого порядка. 30

Таким образом, система уравнений Максвелла сводится к векторным уравнениям второго порядка (2 3) или (2 4) Решения этих уравнений определяют электромагнитное поле в дайной области с помощью соотношений (2J) и (2 2)

2 2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

в электродинамических системах имеются среды с различными электрофизическими параметрами На поверхностях раздела сред должны выполняться условия

(е,Е, - ВзЕз) По Р ; [По, (Е, - Ej)] = 0; (!х,Н,-!Х2Н2)По = 0; [По, (Н^ - Н^)] = J

где и - поверхностные плотности заряда и тока, по - орт нормали к поверхности раздела, направленный из среды 2 в среду 1 (рнс 2 1)

Рассмотрим поверхность раздела между диэлектриком и металлом Как известно, на высоких частотах электромагнитное поле проникает в металл на небольшую глубину, затухая по мере удаления ог поверхности по экспоненциальному закону Л(л:) = = Лоехр(-х/б), где Л (х)-амплитуда поля на расстоянии х ог поверхности металла, 6= (2/u)i0) -глубина проникновения (толщина скин слоя) Для меди, например, на частоте f=10 ГГц 6=0,7 мкм, а на расстоянии 10 мкм от поверхности амплитуда поля уменьшается в 1,6 10 раз

В наиболее строгой постановке задача расчета электромагнитного поля в ЭС, содержащих металлические тела, требует проведения границы расчетной области в глубине металла на расстая- , Ппвепхнпсть НИИ Хо б от его поверхности На этой \ i°fPf

г- раздела соед

границе задаются нулевые значения Е v н

и Н Однако такой путь сильно усложняет решение задачи, так как даже при однородном заполнении ЭС среда внутри рассчитываемой области V становится кусочно-неодиородной, включающей часть объема металлических тел ЭС

Вследствие малой глубины проникновения достаточно высокая точность решения получается при совмещении границы рассчитываемой области с поверхностью металла и задании на ней приближенного граничного условия Леонтовича Е. = Zg [Н, яо], где по - орт нормали к поверхности, направленный в глубь металла (орт внешней нормали), Е. - вектор касательной составляющей на-пряжеиностн электрическш о поля, = (14- () /06 - поверхностное сопротивление металла Условия Леонтовича справедливы, если радиус кривизны поверхности металла Л>б

С достаточной для большинства практических расчетов точностью металлическую поверхность ЭС можно считать идеально проводящей, т е положить 2 = 0 На такой поверхности должны выполняться граничные условия

Е- =: 0; [Н, По] = (2.8>

Так как первое из этих условий можно записать как (rot Н) ..=0,. из неГо следует, что на идеально проводящей поверхности Н„=0

Часто ЭС имеют одну или несколько плоскостей симметрии. Относительно этой плоскости нормальная к ней составляющая вектора Е может быть распределена либо симметрично (рис. 2.2,0), либо антисимметрично (рис. 2 2,6). В первом случае на плоскости симметрии выполняются условия (2.8), и она может быть заменена идеально проводящей повер.хиостью без нарушения структуры поля. Граничные условия (2.8) называются условиями короткого замыкания, а поверхность, на которой они выполняются, - электрической стенкой. Во втором случае на плоскости симметрии выполняются дуальные по отношению к (2.8) условия Н.=0; [Яо, Е]=0, которые называются условиями холостого хода, а сама плоскость симметрии - магнитной стенкой. Использование граничных условий на плоскостях симметрии позволяет уменьшить размеры и упростить форму области, в которой рассчитывается электромагнитное поле, а также получить решения с заранее заданными свойствами симметрии.

Рис. 2.3. К расчету электромагнитного пол'я вблизи ребра

Рис. 2.2. Распределение электрического поля вблизи плоскости симметрии системы:

7 - симметричное; б - антисимметричное, --силовые линии электрического поля; --.--силовые линии магнитного ноля

Найдем условия, которым должны удовлетворять векторы Герца на электрической и магнитной стенках. На электрической стен-Sl (E.J = О, Нд = 0) из выражений (2.1) и (2.2) получаем

Г^ = 0; (rot Г ). - A;-2J . (2.9)

На магнитной стенке Ss (Е„ = 0, Н., = 0) аналогично предыдущему

Г^=0; (rotГ' ) -fe-JГ (2-10)

Таким образом, граничные условия для магнитного вектора Герца, вообще говоря, неоднородны и связаны с плотностью стороннего тока вблизи поверхности. Если последняя равна нулю, эти условия упрощаются:

Г-(л:) = 0, xS,; Г^(л:) = 0. xS. (2.11)

Поверхности раздела сред в ЭДС часто содержат острые ребра, вблизи которых наблюдается концентрация электромагнитного поля. Как показано в монографии [57], для того чтобы электромагнитная энергия, запасенная в любом конечном объеме вблизи ребра, оставалась конечной, любая составляющая векторов Е и Н