Е, Н = 0(/-+П, г-*0. (2.12)

где г - расстояние от точки наблюдения до ребраВеличина т определяется электрофизическими свойствами сред, образующих ребро, и формой поверхностей раздела между ними.

В качестве примера, имеющего важное практическое значение, рассмотрим поле вблизи ребра, образованного идеально проводящими плоскостями 6 = 0 и 6 = а, граничащими с однородным изотропным диэлектриком (рис. 2.3). Пусть в области V J =0, р = 0-Рассмотрим поле, описываемое электрическим вектором Герца, направленным вдоль ребра, и предположим для простоты, что оно не зависит от координаты z. т. е. положи.м Г* = (/, 6) е^. Частное решение уравнения (2.3) при этих условиях имеет вид

ф, (г, 6) = л {kr) (5, cos v6 -f С, sin v6). (2.13)

Так как при 8 = 0 и 6 = а вектор Герца должен удовлетворять условию (2.9), =0, х=тл/а.. т = 0, ±1, ±2, ... Вблизи ребра (йг<1) справедливо соотношение /v (Аа) [Г(1-Ьг)]-(М2), где Г{х)-гамма-функция Эйлера. Использование этого приближения и граничных условий позволяет записать общее решение уравнения (2.3) вблизи ребра в виде

Ф(г, е)= 2 D r -i- sin {тг.Щ, krl. (2.14)

Подставив это решение в (2.1) и (2.2) и учитывая, что УГ= = c>i!p/dz=0, найдем электромагнитное поле:

£,= 2 О,- / Sin (/Птгб/а);

т = - оо ее

Н, = 1(03 2 (ттг/а) Dr !- cos (тиб/а);

m=- о

Нв = - Ш 2 (mir/a) Dr / -! sin (rmld).

Сравнивая полученные выражения с условием (2.12), видим, что оно выполняется, если 1)=0 для всех т<0 и

т = 7г/а. (2.15)

Таким образом, при а.Ж поперечные составляющие магнитного поля вблизи ребра имеют сингулярности. Продольные составляющие электрического поля и вектор Герца особенностей вблизи ребра не имеют. Проделав аналогичный вывод для поля, описываемого магнитным вектором Герца, можно показать, что в этом случае особенностью вблизи ребра обладают поперечные состав-

f{x)=0(g(x)) при х-Хо, если существует постоянная А такая, что f(x) <(х) Л, x->Xo.

1271 33

ляющие электрического поля, причем г также определяется выражением (2.15). В общем случае электромагнитное поле является суперпозицией полей, рассмотренных выше. Читателю предлагается убедиться, что полученные результаты справедливы и в том случае, когда зависимость вектора Герца от г описывается дважды дифференцируемой функцией. Отметим, что выражения для Нг, (или для Ег, Ец в случае магнитного вектора Герца) совпадают с решениями уравнения Лапласа. Сле?[овательно, вблизи ребра электромагнитное поле близко к магнитостатическому (электростатическому). Учет особенностей поведения электромагнитного поля во многих случаях позволяет ускорить сходимость алгоритма вычисления поля и увеличить точность получаемых результатов.

2.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ

Изложенные выше сведения позволяют следующи.м образом сформулировать задачу расчета электромагнитного поля в ЭС: найти в заданной области V векторную функцию и, удовлетворяющую уравнению

-Xu=nF (2.16)

внутри области V и граничному условию

£?,u = F, (2.17)

на ее границе 5. В этих выражениях !;£, Xg - линейные дифференциальные выражения; F и F.j -заданные функции, определенные соответственно в области У и на ее границе 5; X=-k

Отметим, что любую задачу (2.16), (2.17) с неоднородными граничными условиями (Р,=?0) можно свести к задаче с однородными граничными условиями

,u=0. (2.18)

Действительно, подобрав функцию V, удовлетворяющую граничным условиям (2.17), неизвестную функцию и можно найти в виде суммы u = v+w, где w есть решение уравнения вида (2.16); £?w - = Fl, а функции Fi= F-соответствуют однородные граничные условия вида (2.18). В связи с этим в дальнейшем, если это ие оговорено особо, граничные условия будут полагаться од-нородиы.ми.

Дифференциальное выражение St вместе с граничными условиями (2.18) образует линейный дифференциальный оператор. Теория таких операторов составляет предмет функционального анализа [72, 53]. Некоторые сведения из этой теории, необходимые для понимания дальнейшего, приведены в приложении 2.

Свойства операторов существенно зависят от вида области V. В связи с этим различают внешние краевые задачи электродинамики, возникающие, когда решение ищется в неограниченной области, и внутренние задачи, когда область V существования поля ограничена замкнутой поверхностью 5. Численные методы решения последних составляют основное содержание книги. Внутренние краевые задачи электродинамики, как отмечалось, делятся на задачи о свободных и вынужденных колебаниях (волнах). Задачи

первого типа возникают, когда правая часть уравнения (2.16) тождественно равна нулю, а граничные условия однородны. Физически это означает, что в области V отсутствуют сторонние токи и заряды, а на границе 5 - сторонние электромагнитные поля. В противном случае возникает задача о вынужденных колебаниях (волнах).

Важное значение для правильной постановки задач электродинамики имеют теоремы существования и единственности решения. В частности, нетривиальные (т. е. не равные тождественно нулю) решения задачи о свободных колебаниях существуют только при определенных значениях = Л,-, (=1, 2, называемых собственными значениями оператора SE. Каждому собственному значению соответствует одно или несколько решений, называемых собственными функциями этого оператора. Эти решения определены с точностью до постоянного множителя.

Задача о вынужденных колебаниях имеет единственное решение тогда и только тогда, когда сопряженная задача

XV (х) - XV (х) = 0, л: G I/; (?) =0, S,

имеет только тривиальное решение v(a:) = О, т. е. когда ЬфХ где л,- - собственные значения сопряженной задачи. Если же сопряженная задача имеет ненулевые решения Vy, /=1, 2, Л', задача о вынужденных колебаниях разрешима, только если выполняются

так называемые условия ортогональности (F, V/) = 1 Fv?uf V = О, У= 1, 2, TV.

Определения сопряженного оператора S3, сопряженных краевых условий и скалярного произведения функций (F, Vy) приведены в приложении 2.

Важным классом дифференциальных операторов являются самосопряженные (эрмитовы) операторы (см. приложение 2), особая роль которых связана с тем, что каждый самосопряженный оператор порождает оргонормированную систему собственных функций {и,}: (u;, uy) = 5,-у, где 5,-у --символ Кронекера. Каждая функция W, определенная в области V, может быть разложена в ряд

Фурье по полной системе собственных функций (и,-): w = 2

коэффициенты которого определяются по формулам ai={vi, Uj) =

Полученные результаты справедливы и для так называемой обобщенной задачи иа собственные значения

5?и-Ши = 0, (2.19)

где Q - положительная тензорная весовая функция, если определить скалярное произведение в соответствии с формулой (и, v)=

Найдем условия самосопряженности важнейших электродинамических операторов. Для этого необходимо вычислить их комму-