минимальное значение Это означает, что разность /2(11)-f2(Uo)>0. Положим u = Uo-bSu, где йиеО. Если функции и и Uo мало отличаются друг от друга, из записанного неравенства следует, что вариация функционала, т. е линейная относительно би часть приращения, 8г2=р2{щ+ш) - р2{щ)=0. Так как при вычислении ва-)иадии можно использовать обычные правила дифференцирования 72], обозначив Р= и, и), ;?=(@ и, и), получим б^г = [бР- -F2{u)8R]/R = 0.

Знаменатель этого выражения при и^О всегда больше нуля. Отсюда условие стационарности функционала 2

5Р-2(и)8/? = 0 (2.25)

или

+ U(,-fSu)-(55Uo, Uo) -/=2[(@Uo-f (Sou,

Uo + ou) -((guo; щ)] = ти, щ) + {£Сио, 8u)-f -{ (Пи, Щ-Р^ЩЬи, Uo) + (Quo, Su) + (@8u, 8u)I = a

Так как оператор £ самосопряжен, а функция & положительна, (Su, Uo)=(SS Uo, Bu)*; {dbu, Uo)=( Uo, Su)* Используя эти равенства и опуская квадратичные относительно би члены, получаем 2Re[(5Uo-F2(Uo)@Uo, 6u)] =0.

Ввиду произвольности функции би полученное равенство возможно, только если и о есть решение уравнения (2.19), а f2(Uo) = = 1. Так как оператор 5? положительно определен, Xi является его минимальным собственным числом.

Сформулированные теоремы позволяют свести решение задач (2.16) - (2.19) к вариационной задаче нахождения функций, реализующих минимум функционалов Fi и 2 соответственно.

Для высших собственных значений справедливы соотношения

= min 2 (и), {Ш, U;) = 0, 2, k-\, (2.26)

т. е. функция U сообщает функционалу fa минимум, равный собственному значению если она ортогональна ко всем собственным функциям, имеющич! меньшие собственные значения.

Отмечая тот факт, что функционалы Fi и i-2 принимают минимальные значения при подстановке в них решений задач (2 16) и (2.19), говорят, что они стационарны на решениях соответствующих задач. Это свойство функционалов часто используется для приближенного определения собственного значения по неточно известной собственной функции, так как вследствие стационарности ошибка в определении собственного значения имеет более высокий порядок малости, чем ошибка в задании собственной функции.

Для нахождения минимума функционалов Fi и fa необходимо использовать функции из области определения оператора 2, т. е. удовлетворяющие граничному условию (2.17) и.ти (2.18). Часто нахождение таких функций представляет значительные трз^дности. Используя соотношение (П1 17), вместо указанных функционалов можно построить новые, добавив к /[ к F2 соответствующие поверхностные интегралы-

3 = (Ли, Ли) - {F, U) - (и, F); (2.27)

F - {Ли, Ли)1{@и, U). (2.28)

Минимальные значения этим функционалам доставляют функции, удовлетворяющие уравнению (2.16) или (2.19) и обращающие в нуль поверхностный интеграл в (П1.17), т. е. удовлетворяющие определенным граничным условиям, которые называются естественными для соответствующих функционалов. Если эти условия совпадают с граничным условием (2.17) или (2.18), решение можно искать на множестве функций, не удовлетворяющих естественным условиям заранее (не принадлежащих 2))- Эта возможность

обусловила широкое использование функционалов (2 27), (2.28) при решении практических задач. Если же граничные условия задачи отличаются от естественных для используемого функционала (в этом случае их называют главными), множество функций, на. которых ищется решение, должно обязательно принадлежать области определения оператора т. е. удовлетворять граничному условию (2.!7j или (2.18).

Приведем без вывода, который читатели могут легко проделать самостоятельно или посмотреть в [72], симметричные формы функционалов для основных электродинамических операторов.

1. Для оператора =rotrot

/=-., = \ \ rotu I 2 rfl j Q ( U 1 dV (2.29)

с естественным граничным условием (го1и).=0, иа электрической стенке для и = Н и на магнитной стенке для и= Е.

2. Для оператора V2= grad div-rot rot

= j ( I div u 1 2 -r I rotu 1 2) dV\\@ I u I 2 flf\/

с естественными граничными условиями (rot u).. =0, divu =0.

3. Для оператора Лапласа Д

F,= \ I vu I 2fifl j(g ! u ! 2flfK

с естественным граничным условием dujdnO. Таким образом, наряду с дифференциальной формулировкой внутренние задачи электродинамики допускают эквивалентную вариационную формулировку.

Альтернативная формулировка задачи связана с возможностью обращения дифференциальных электродинамических операторов. Линейную краевую задачу

Ли {X) = F (X), xV; Л^и [х) = 0, xS, (2.30)

можно рассматривать как преобразование функции и в функцию F. Если существует обратная операция, ее можно записать в виде интегрального преобразования и (х) = G (х, S) F (S) d ,

где ядро G{x, I)-тензорная функция Грина задачи (2.30). Решение задачи с неоднородными граничными условиями (х)= = О, xeV; .и{х) = Fs(x), xS, можно записать в аналогич-

где R(x, I; X) = (Ж -W)-- резольвента Грина оператора S. К сожалению, нахождение резольвенты Грина - задача, немногим менее сложная, чем решение исходного уравнения (2.16).

Таким образом, внутренняя краевая задача электродинамики допускает три эквивалентные формулировки: дифференциальную, вариационную и интегральную, каждая из которых порождает соответствующую группу численных методов.

2.5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ (ВОЛНАХ)

Как отмечено во введении, задача расчета электромагнитного поля свободных колебаний (волн) состоит в решении однородных уравнений Максвелла (В.Ю), (В.11) в объеме V, ограниченном металлической поверхностью S. Вместо уравнений Максвелла можно решать эквивалентные им однородные уравнения Гельм-гольца

v2p 2г = o (2.31)

относительно электрического или магнитного вектора Герца. Отмеченные уравнения и граничные условия сводятся к задаче та собственные значения (2 18), (2.19).

Если ЭС имеет плоскости симметрии, решение можно искать в части ее объема, ограниченной этими плоскостями и поверхностью 5. На плоскостях симметрии в зависимости от структуры рассчитываемого поля могут задаваться граничные условия типа электрической илн магнитной стенки. На металлических поверхностях можно задать условия короткого замыкания или граничные условия Леонтовича, учитывающие конечную проводимость металла. В первом случае оператор задачи является самосопряженным, его собственные значения - действительными, а собственные функции - ортогональными. Каждая собственная функция описы-

тензорной функцией Грина второго рода. Так как любую задачу с неоднородными граничными условиями можно свести к задаче (2.30), функции Грина g и gs связаны между собой.

Если существует тензор Грина оператора s5, краевая задача (2.16), (2.17) эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода [53]

и(х)--к^К{х, )и{)с1У^=Ф{х),

где

К{х, 1) = 0{х, %)т)\ <(х) = \0{х, %)?{\)dVi.

Формально рещение этого уравнения записывается в виде

и{х) = Ф{х) + \ \R{x, ; l)?{)dV,