|
Главная Резонаторные замедляющие системы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 вает определенный вид колебаний (моду) объемного резонатора, а собственное значение - его собственную частоту Так как = = У+к где верхний знак соответствует оператору а ниж- ний-операторам 35з и SSi, волновые числа ki всегда ока- зываются действительными Ввиду ортогональности собственных функций различные виды колебаний не взаимодействуют друг с другом При использовании граничных условий Леонтовича операторы 55 Х2 оказываются несамосопряженными, их собствен- ные значения - комплексными, а собственные функции - неортогональными Учет потерь в стеиках с помощью граничных условии позволяет исследовать взаимодействие различных мод в поле вынужденных колебаний ЭС Ввиду того, что использование граничных условий Леонтовича существенно усложняет решение задачи о собственных колебаниях, обычно при нахождении электромагнитного поля и собственных частот стенки резонатора полагают идеально проводящими, а влияние их конечной проводимости оценивают косвенным методом, Рпс 2 4 Регуляр- рассчитывая мощность, выделяющуюся в ный волновод стенках резонатора под действием проте- кающих в них токов, индуцированных магнитным полем, рассчитанным без учета потерь Задача расчета электромагнитного поля свободных волн в ре гулярном закрытом волноводе сводится к решению уравнения (2 19) с граничными условиями (2 18) в области, представляющей собой цилиндр сложного поперечного сечения (рис 2 4) Строго говоря, эта задача не является внутренней, так как регулярный волновод имеет неограниченную длину. Гем не менее ее можно свести к внутренней задаче электродинамики [75], используя тот факт, что электромагнитное по.пе в регулярном волноводе пред- ставляет собой бегущую волну и - uo е . При отс;)тствин потерь (г=Р) такое поле удовлетворяет условию периодичности 1х{г+А) = п(г), где Л=2л/р - длина волны в волноводе В связи с этим в волноводе можно выделить конечный объем V, ограниченный идеально проводящей оболочкой волновода S(, и двумя плоскостями Sl и S2, перпендикулярными оси волновода и отстоящими друг от друга на расстоянии Л Введя обобщенно-цилиндрическую систему координат xi, х2, хъ, ось х^ которой совпадает с осью волновода, поставленную задачу можно сформулировать следующим образом найти решения задачи (2 18), (2 19) в ограниченной области V, удовлетворяющие граничным условиям на электрической и магнитной сетках Ux(a:)-=0 или м„(а-) = 0, xS,; и(л: Х2, x3-f-A) = и(л- Xi, xz). Нетрудно показать, что операторы^ Хч, с такими граничными условиями являются самосопряженными и знакоопреде-ленными Следовательно, решения поставленной задачи образуют бесконечную последовательность собственных частот = (,/е() 42 и собственных функции u соответствующих различным типам воли в волноводе Поскольку значения со, и вид функций и вообще говоря, зависят от Л, рещая задачу для произвольной длины волны, можно получить дисперсионные характеристики различных типов волн в волноводе , = < ), (Л) и зависимость электромагнитных полей этих типов волн от длины волны Л При наличии потерь постоянная распространения становится комплексной, и условия периодичности не выполняются В этом случае условия периодичности можно сохранить, введя комплексную длину волны Л=2л/г [75], однако рещение задачи существенно усложняется Ниже показано, что задача о свободных волнах в волноводе допускает более удобную двумерную фор мулировку, естественным образом включающую потери Рассмотрим в заключение задачу расчета поля в замедляющей системе Электромагнитные поля в поперечных сечениях такой структуры, отстоящих друг от друга на расстоянии одного периода L, удовлетворяют теореме Флоке U (2 + Z.) = U (г) е-*, О < < тг, (2.32) где ф - угол сдвига фаз на период (вообще говоря, комплексный) Поставив задачу (2 18), (2 19) для объема V, ограниченного идеально проводящей оболочкой и плоскостями Si и S2 с периодическими граничными условиями (2 32), можно убедиться, что все электродинамические операторы, рассмотренные ранее, и в этом случае являются самосопряженными и знакоопределенными [75], если угол сдвига фаз ф - действительный Полученная в резуль тате решения последовательность собственьых значений (ф) и собственных функций и,(г, ф) характеризует различные типы волн, которые могут распространяться в данной периодической структуре При наличии затухания необходимо вводить комплексный уюл сдвига фаз ф таким образом, чтобы частоты м, (tp) = = [ I 1 (?) I !{)] оставались действительными Таким образом, расчет электромагнитного поля в зс также сводится к решению внутренней задачи электродинамики 2.6. ЧИСЛО НЕИЗВЕСТНЫХ ФУНКЦИЙ И их РАЗМЕРНОСТЬ В ЗАДАЧЕ О СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ в § 2 5 задача расчета электромагнитного ноля свободных колебаний резонатора сформулирована как задача на собственные значения (2 18), (2 19) относительно трех трехмерных неизвестных функций - проекций вектора Г на оси координат Найдем условия, при которых число подлежащих определению функций и (или) их размерность могут быть уменьшены В ряде случаев это можно сделать, используя градиентную инвариантность векторов Герца* если вектор Г удовлетворяет однородному уравнению Гельмголь-ца (2 31) и в соответствии с выражениями (2 1), (2 2) определяет некоторое поле Е, Н, то вектор Г=Г-Уф, где ф - любое решение уравнения Af + A2co = 0, (2.33> также удовлетворяет уравнению (2 31) и описывает то же самое поле Введем ортогональную криволинейную систему координат Xi, Х2, Хз с метрическими коэффициентами ft;, йг, Л3 и ортами е ег, вз и выберем функцию q> таким образом, чтобы rl = = rf - hTdridXi =z 0. (2.34) Вектор содержит только две проекции, следовательно, уравнение (2 31) является системой с двумя неизвестными. Функция (р^, однако, в этом случае, кроме уравнения (2.33), должна удовлетворять еще и условию (2.34). Не обсуждая возможности одновременного выполнения этих условий, отметим, что любое электромагнитное поле свободных колебаний (волн) может быть описано с помощью двух скалярных функций - проекций вектора Г' на любые две координатные оси То же са.мое справедливо н для магнитного вектора Герца при соответствующем выборе скалярной функции ф *. Таким образом, для описания поля можно использовать либо две проекции вектора Г^, либо две проекции вектора Г*. Можно, однако, поступить иначе. Из выражений (2 1) и (2 2) следует связь между векторами Герца rot ШГ. (2.35) ВьТбрав функции tf и ср * так, чтобы = = О, из выражения (235) получаем формулы 1 д hzhy дхо позволяющие выразить проекцию электрического вектора Герца на ось Х2 через проекцию магнитною вектора Герца на координатную ось Хз, н наоборот. Это дает возможность использовать для описания электромагнитного поля две скалярные функции - проекции электрического и магнитного векторов Герца на одно и то же направление, т. е. принять Г* = Г^Сз, Г' = Г'е-,. Электромагнитное поле в этом случае можно рассматривать как суперпозицию поля электрического типа (Г-типа), определяемого скалярной функцией Г^, - grad div (Г-Сз) + kK = i rot (Г-ез) и поля магнитного типа (Я-тнпа), определяемого функцией Г' -, Е' - - icojjt rot (Г' ез); Н' - grad div (Г'вз) + kF. Из полученных выражений следует, что в поле Е-типа перпендикулярно направлению ез расположен вектор Н, а в поле Я-типа - вектор Е Необходимость одновременного выполнения условий (2.33) и (2 34) для функции ф', аналогичных условий для функции ф *, а также условия (2.35), связывающего обе функции, налагает определенные ограничения на метрические коэффициенты системы ко- |