Главная  Резонаторные замедляющие системы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

линии передачи (ММЛП) и предложенный А С Рошалем п В. А Лейтаном [86] метод прямых (МП)

Методы решения уравнений Максвелла в частотной области разработаны значительно лучше Их можно разбить на две большие группы Первая группа методов, условно назвапныч здесь глобальными (ГМ), предполагает определение поля системы одновременно во всей области V Вторая группа использует разбиение ЭС на частичные области простой геометрической формы, независимое нахождение решений в каждой из этих областей с последующим сшиванием полей на границах раздела Эта группа получила название методов частичных областей (МЧО)

Переходя к характеристике глобальных методов, отметим, что, поскольку аналитические решения уравнения Гельмгольца в различных системах координат известны, существуют методы, использующие для построения решения суперпозицию функций, точно удовлетворяющих уравнению Гельмгольца в области V Задача при этом сводится к тому, чтобы приближенно удовлетворить граничным условиям. Преимущество таких поверхностных методов (ПВМ) состоит в уменьшении размерности - объемная задача сводится к поверхностной, а поверхностная - к контурной

В качестве решений уравнений Гельмгольца можно использо вать функции Грина точечных или линейных источников (МФГ). В результате наложения граничных условий в этом случае возникает интегральное уравнение относительно неизвестной плотности распределения источников на поверхности S. Такой подход используется в методе сингулярных интегральных уравнений (МСИУ) Для исключения сингулярности источники могут быть отодвинуты вглубь металла (метод вспомогательных источников МВИ)

Другая возможность состоит в отыскании решения в виде ряда по частным решениям уравнения Гельмгольца, имеющим вид стоячих волн (метод коллокацнй МК) Коэффициенты ряда находятся исходя из точного удовлетворения граничным условиям в заданном числе точек границы (метод точечного согласования МТСО) или исходя из условия обращения в нуль поля за пределами области V (метод нулевого поля МНП)

Дискретизация исходных уравнений перечисленными методами приводит к матричному уравнению С(й)Х -F, где C(k)-плотная квадратная матрица, элементы которой нелинейно зависят от волнового числа k; X - вектор, аппроксимирующий неизвестную функцию, F - вектор, аппроксимирующий заданные источники В случае задачи о свободных колебаниях F = 0 и для нахождения собственных значений необходимо решать нелинейное уравнение detC()=0, что является достаточно трудоемкой задачей Таким образом, описанная группа методов лучше приспособлена к решению задач о вынужденных колебаниях, когда k - заданная величина и элементы матрицы С могут быть легко вычислены по известным формулам

Отказ от функций, точно удовлетворяющих уравнению Гельмгольца внутри области V, с одной стороны, увеличивает объем вычислений, а с другой - позволяет упростить их за счет построения решения в виде суперпозиции простых, например полиномиальных, функций Основными разновидностями группы методов, использующих приближенные решения в объеме - объемных методов (ОМ), - являются метод конечных разностей (МКР) и проекционные методы (ПМ), различающиеся по виду базисных функ-



ций, применяемых для приближенного представления решения. С этой точки зрения можно выделить классические проекционные методы (КПМ), использующие базисные функции, вообще говоря, отличные от нуля во всей области V, и метод конечных элементов (МКЭ), основанный на введении базисных функций специального вида, отличных от нуля только в небольшой части области V (в конечном элементе) Отметим также вариационный метод (ВМ), который можно рассматривать как разновидность проекционного.

Дискретизация исходной задачи объемными методами приводит к матричному уравнению вида {А+кЩ)Х=Р. Матрицы А и В могут быть как плотными (КПМ), так и редкими (МКЭ) Для нахождения собственных значений задачи о свободных колебаниях (F-=0) можно применять известные методы вычисления собственных чисел и векторов матриц Необходимо отметить, что, например, в цилиндрической системе координат выражения для матричных элементов могут быть весьма сложными

Метод конечных разностей основан на приближенной замене дифференциальных выражений разностными и в процессе дискретизации не использует вариационных принципов, поэтому его можно применить и в тех случаях, когда стационарные функционалы построить невозможно (несамосопряженный или незиакоопреде-ленный оператор задачи). Дискретизация в данном случае приводит к наиболее простому матричному уравнению AX+kX = F с редкой матрицей А, элементы которой легко вычисляются.

Методы, основанные на разделении ЭС на частичные области, более разнородны Расчет электромагнитного поля в разных частичных областях даже одной ЭС может быть произведен различными методами - аналитическими, численными, методами эквивалентных схем и т. п. В соответствии с этим в МЧО могут применяться математические модели различного уровня, а также смешанные модели. Электромагнитное поле в частичных областях должно удовлетворять всем граничным условиям задачи, за исключением условий на поверхности раздела с другими частичными областями В связи с этим поля в частичных областях определяются с точностью до совокупности произвольных постоянных При сшивании полей на поверхностях раздела возникает система алгебраических уравнений относительно этих постоянных, т. е происходит дискретизация задачи В связи с важной ролью, которую играет этот процесс в методах частичных областей, целесообразно классифицировать их по методам сшивания.

Метод сшивания в отдельных точках границы раздела (метод точечного сшивания - Л1ТСШ) позволяет обеспечить непрерывность полей в фиксированном числе точек границы.

Лучшие результаты дает метод сшивания усредненных по границе раздела полей (МУП), разновидностями которого являются энергетический метод (МЭ), основанный на нриравнивании потоков вектора Умова-Пойнтиига по обе стороны границы раздела, и имнедансный метод (МИ), согласно которому приравнивается нулю сумма полных сопротивлений частичных областей, расположенных по обе стороны от границы раздела. При определенных соответствующим образом полных сопротивлениях энергетический и имнедансный методы но существу совпадают Альтернативный подход заключается в задании на границе раздела пробного распределения электрического поля и расчете возбуждаемых этим полем колебаний в частичных областях. Записав условие ненрерыв-иости магнитного поля вынужденных колебаний на поверхности

4-1271 49



раздела, получим функционал или интегральное уравнение относительно пробного поля. В первом случае метод называют вариационным методом частичных областей (ВМЧО), во втором- методом интегральных уравнений в частичных областях (МИУЧО). Отметим еще метод собственных функций (МСФ), согласно которому решается самосогласованная задача возбуждения двух или нескольких смежных частичных обласгей полем, заданным на границе их раздела. При этом в интегралы возбуждения различных видов колебаний каждой из областей входят коэффициенты разложения поля смежной области по ее собственным функциям. В результате получается система однородных линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения поля в каждой области. Приравнивая ее определитель нулю, можно найти собственные частоты всей области.

Отдельную группу образуют методы декомпозиции [77], обладающие многими особенностями глобальных методов (единообразное представление поля во всей области, регулярный метод дискретизации). Эти методы используют разбиение объема ЭС координатными поверхностями на достаточно малые параллелепипеды , противоположные грани которых образуют виртуальные волноводы. Записав для этих волноводов соответствующие матрицы рассеяния или проводимости, можно с учетом граничных условий получить систему уравнений относительно амплитуд парциальных волн в виртуальных волноводах (метод минимальных автономных блоков - ММАБ).

Глава 3

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ВНУТРЕННИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

3.1. ПОСТАНОВКА ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ

В § 2.5 показано, что задача расчета ЭС является двумерной, если выполняются следующие условия: 1. ЭС заполнена однородной изотропной средой, а на ограничивающей ее поверхности выполняются условия короткого замыкания (Е. =0) или холостого хода (Нт = = 0). 2. Существует ортогональная криволинейная система координат Xi, Хч, Ха, в которой уравнения граничной поверхности ЭС имеют вид (2.38) и метрические коэффициенты h, h, /13 удовлетворяют соотношениям (2.36), (2.42).

Если заранее известно, что электромагнитное поле ЭС не зависит от координаты Хз ((9/(9x3 = 0), условия (2.36) могут быть заменены на более слабые (2.39).

Одной из наиболее важных систем координат, удовлетворяющих условиям (2.36) и (2.42), является обобщенно-цилиндрическая система х^, л'г, z, для которой



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82