hs=l; M{Xs)=i. Первое из уравнений (2ч38) в этой системе есть уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой удовлетворяет этому же уравнению. Если направляющая замкнута, эту цилиндрическую поверхность можно рассматривать как боковую поверхность регулярного волновода (РВ) с произвольной формой поперечного сечения (рис. 3.1,а).

aj г~ 5)

Рис. 3.1. Регулярный волновод (а) и цилиндрический резонатор (5)

Добавив к уравнению цилиндрической поверхности два уравнения z=Zi и г = 22, получим замкнутую поверхность, образующую цилиндрический резонатор (ЦР) длиной l = Z2-Zx, причем первое из уравнений (2.38) описывает его боковую поверхность 5б, а второе- торцевые поверхности Sx,2 (рис. 3.1,6).

Как показано- в § 2.5, электромагнитное поле в РВ и ЦР описывается одной скалярной функцией

Г = ф(х„ х2)С(г), (3.1)

для нахождения которой необходимо решить уравне-

Д,ф + 2>1> = 0; (3.2)

й!2С/й!г2 + А2(;=::0, (3.3)

где kl-klk-. (3.4)

Общее рещение уравнения (3.3) l-A e-V -f Лде'*/ описывает падающую и отраженную волны в регулярном волноводе.

Найдем граничные условия, которым должны удовлетворять функции ф и на электрической и магнитной стенках. Отметим прежде всего, что электромагнитное поле -типа выражается через функции фи? следующим образом:

Е = grad div (фС е,) + е, = Cvx* + е, + 2фС е,;

Н г= 10)его1(фСе,). . 4* 51

Учитывая уравнение (3.3) и соотношение (3.4), полученные выражения можно упростить:

E = v. + k%,; (3.5)

H==lo)eqVx, iej, (3.6)

где Vj. - поперечный оператор Гамильтона, действующий только на координаты х^. х^. В координатном представлении:

1 о!; (9ф itoe д'\ А ~ -;--;--;- ; ,==:-

Л, dz дх2

-- А;Я,= --С-; (3.7)

2 dz дх Л] dXi

На идеально проводящей боковой поверхности волновода Sg должно выполняться условис =0. Представив орт касательной к поверхности = + е, в виде суммы двух составляющих, одна из которых направлена по оси Z, а другая лежит в плоскости z = = const (см. рис. 3.1,а), получим два условия, которые должны выполняться на боковой поверхности волновода: Е = klf, = 0; Еег-= Vd\>ldl = 0.

Если ¥=0, из первого условия следует 113 = 0, что удовлетворяет и второму условию. Если =0, первое условие выполняется автоматически и тогда из второго условия следует, что diJdl = 0 или t) = const на S.

Отметим, что при k=0 электромагнитное поле является чисто поперечным (поле Г-типа). Так как уравнение (3.2) в этом случае превращается в уравнение Лапласа, из условия на границе ф = const следует, что Г-поле может существовать только в многосвязных областях.

Выражения для электромагнитного поля Я-типа можно получить из (3.5) и (3.6), воспользовавшись перестановочной двойственностью:

E-io)ixC[vx, Ie,]; (3.8)

H = ;Ax1>-f П'К-е,]; (3.9)

-;--;- 1 - ;--; >

E, = -

2 dx2 A, dxi

Co - ----:----, По -

dx dx2

Граничные условия на боковой поверхности волновода найдем, приравняв нулю Е,:

Еег = - lcotx!:([vx, Ie,], e) = - icot.CCVxl, e ) =

=: - 1Ш1Щ1дп-0, (3.10)

откуда dip/dn = 0 на Sq.

Таким образом, для расчета электромагнитного поля в волноводе с идеально проводящими боковыми стенками необходимо решить уравнение (3.2) с граничными условиями:

ф = 0 для поля jG-THna; (3.11)

ду[дп = 0 для поля Я-гипа; (3.12)

ij3 = const для поля Г-типа. (3.13)

На магнитной стенке выполняются дуальные граничные условия d\S[ildn = 0 для поля jG-rnna и г|з=0 для поля Я-типа. Так как оператор уравнения (3.2) с граничными условиями (3.11) и (3.12) является самосопряженным, решения этого уравнения образуют бесконечную последовательность действительных собственных значений /г^ й^, . и соответствующих им собственных функций фь грг,... Каждая собственная функция -ф, описывает электромагнитное поле определенного типа свободных волн (моду) в волноводе, а соответствующее собственное значение й^. равно квадрату критического волнового числа.

Переходя к решению уравнения (3.3), отмечаем, что для регулярного волновода из условия затухания поля на бесконечности полагают Л2 = 0. При расчете цилиндрических резонаторов коэффициенты и Лг определяются граничными условиями для функции ?. Считая, что торцевые поверхности 52(2 = 1 и 2 = 22) идеально проводящие, с помощью выражений (3.5) и (3.8) находим d%ldz = 0 для -поля и ? = 0 для Я-поля. Отсюда, положив 1 = 0, для -поля

с = А COS (и/7г ), P-Q, 1, 2, ... (3.14)

Аналогично для Я-поля

С=: Л sin (r:/7z ), /?гг 1, 2, 3, ... (3.15)

Таким образом, задача расчета поля в регулярном волноводе и цилиндрическом резонаторе сводится к решению двумерного уравнения (3.2) с граничными условиями (3.11), (3.12)или (3.13).