ВВЕДЕНИЕ

Электродинамическая система электронного прибора СВЧ или высокочастотного ускорителя заряженных частиц предназначена для создания электромагнитного поля заданных частоты и конфигурации. В связи с этим любая задача расчета ЭС, не учитывающая квантовых эффектов, включает решение системы уравнений Максвелла:

roiH = d(BE)idt + оЕ + J; (В.1)

roiE=-d{i>.H)ldt; (В.2)

div (tJH) = 0; (В.З) div(sE):=P (B.4)

где Е(г, t) и Н(г, t)-напряженности электрического и магнитного полей; е(г), ц(г) и о (г) -диэлектрическая и магнитная проницаемости и проводимость среды; (г, /), (г, t)-плотности стороннего тока и заряда; г - радиус-вектор точки наблюдения; / - время. Искомые функции Е и Н должны удовлетворять определенным условиям на границе S области V, в которой ищется решение, а также начальным условиям при = 0.

Нельзя не удивляться разнообразию физических 51влений, которые описываются этими замечательными уравнениями, - от , электромагнитных полей галактик, звезд и планет до электрических и магнитных полей грозового облака и маленьких кусочков янтаря и железной руды, благодаря которым были открыты электричество и магнетизм. К этому надо добавить электромагнитные поля, созданные человеком, - от бесконечно слабых радиоволн, приходящих к нам от автоматических межпланетных станций, до сверхсильных полей, используемых в энер1 етике и экспериментальной физике. Такое обилие возможных решений позволяет предположить, что нахождение среди них нужного ре-

В дальнейшем для краткости в понятие ЭС ЭП включаются и ЭС высокочастотных ускорителей.

шения, удовлетворяющего начальным и граничным условиям задачи, весьма слож?ю. Действительно, в настоящее время решение уравнений Максвелла в областях произвольной формы с произвольным заполнением находится за пределами возможностей математики и вычислительной техники.

Для упрощения уравнений в дальнейшем предполагаем гармоническую зависимость всех переменных величин От времени:

а (г, ) = Re[a(r)ei-J = a(r) cos(( + 9), (В.5)

где й.(г) = а„(г)ef-комплексная амплитуда. С учетом (В.5) получим уравнения Максвелла для комплексных амплитуд:

rotH-la>sE = j ; (В.6) rotE + iu)tH = 0; (В.7) div(sE) = p,; (B.8) div(txH) = 0, (B.9)

в которые входят комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости е = е'-ie ; е'=е; е =1о/(в; i =

Так как в дальнейшем используются, как правило, комплексные величины, точки над их обозначениями опускаются. Слова комплексная амплитуда также опускаются, если это не вызывает неправильного толкования. Например, в.место термина комплексная амплитуда напряженности электрического поля используется выражение напряженность электрического поля , или просто <<.электрическое поле .

Уравнения (В.6) - (В.9) описывают электромагнитное поле, возбуждаемое сторонним током плотностью J*. Если в изолированном от внешней среды объеме ЭС J =0, возникает задача о свободных колебаниях (волнах), состоящая в решении однородной системы уравнений Максвелла:

rot Н - ia)£E 0; rot Е Ч-la)txH = 0; (В.Ю) div(sE)=:0; div(nH) = 0. (В. 11)

Как известно [15], электромагнитное поле вынужденных колебаний (волн), описываемых неоднородными уравнениями (В.6) -(В.9), может быть найдено в виде суперпозиции различных решений системы (В.Ю) - (В.11).

В зависимости от формы области V и электрофизических свойств заполняющей ее среды для решения уравнений Максвелла используются различные методы.

в областях простой правильной формы (шар, цилиндр, параллелепипед и т. п.) с однородным изотропным заполнением известны аналитические решения, т. е. формулы, выражаюшие напряженности электрического и магнитного полей через известные математические функции координат и времени (или в виде бесконечных рядов по этим функциям). Такие решения являются точными в том смысле, что их можно вычислить с любой заданной точностью. В более сложных областях точное решение задачи найти не удается и приходится решать ее приближенно. Процесс приближенного решения можно разбить на следующие этапы:

1. Постановка задачи - определение целей расчета и класса рассчитываемых объектов, их количественное описание, определение необходимого объема выходной информации и требуемой точности результатов решения.

2. Аналитическая обработка - построение математической модели и исходных уравнений, преобразование их к наиболее простому виду с учетом особенностей данной задачи, исследование свойств полученных уравнений и их решений.

3. Дискретизация - переход от непрерывных функций к дискретным и от функциональных уравнений к алгебраическим, в определенном смысле приближающимся к исходным функциям и уравнениям.

4. Решение полученной системы алгебраических уравнений с заданной точностью.

5. Обработка результатов - расчет параметров и характеристик ЭС по данным, полученным в результате выполнения предыдущего этапа.

Одной из наиболее важных характеристик численного метода является погрешность получаемых с его помощью результатов, которая складывается из погрешностей, вносимых на каждом из этапов. В соответствии с принятой классификацией к составляющим общей погрешности решения относятся: неустранимая погрешность, возникающая на первом этапе решения за счет неточности исходных данных. Как показывает название, эта погрешность не может быть устранена на дальнейших этапах, однако она может существенно увеличиваться при решении так называемых некорректных задач; погрешность математической модели, возникающая на втором этапе вследствие неадэкватности используемой модели реальному физическому объекту;