Главная  Резонаторные замедляющие системы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

динаты любого узла, например, в цилиндрической системе координат определялись выражениями г, =t/i, i = 0, 1, iV,; rj=jh, / = 0, 1, Nj, где /V -число узлов на горизонтальной и вертикальной линиях сетки соответственно, и обозначим (Zj, г^) или ф(л: Vj) через !> у. Для равноудаленных (регулярных) узлов (рис. 3.4) с учетом (3.29) и (3.30) после несложных преобразований получим разностные уравнения относительно значения у в центральном узле i, j:

(3.37)

-f ф„; , (1 + 1/(2;))] -и {kh)\, = 0. f3.38)

Выражения, взятые в квадратные скобки, представляют разностные аппроксимации дифференциальных операторов (3.24) и (3.26) соответственно и называются пятиточечными равноплечими разностными операторами. Заметим, что хотя оператор (3.26) не самосопряженный, записанное для него разностное уравнение (3.38) обычно используется для расчета узловых значений ipij виду его простоты.

i,J-f


Рис 3 4 Пятигочечный равноплечий разностный оператор

Рис 35 К интегрированию одномерной функции 1;(х) по правилу трапеций (один интервал) и по правилу Симпсо-на (два интервала)

Собственные значения задачи (3.23) находятся с помощью функционалов (3.27) и (3.28), которые содержат интегралы по области D. Для аналитического вычисления этих интегралов также применяется интерполяционный полином, совпадающий с функцией г|з в конечном числе дискретных точек. На рис 3.5 показаны примеры



интегрирования одномерной функции ф(х). При ее замене лолиномом первой степени приходим к формуле

трапеций для одного интервала j =: Л(ф, 1-f Ф,)/2

с погрешностью вычисления порядка Ь?. Повышая степень полинома до двух и интегрируя в этом случае в пределах двух смежных интервалов (см. рис. 3 5), получаем формулу Симпсона с погрешностью 0(/г^). Процедура численного интегрирования более надежна , чем дифференцирования, поскольку она усредняет ошибку по всему интервалу. Однако и здесь вследствие возрастания ошибок округления невозможно бесконечно-уменьшать шаг h для повышения точности. Отмеченное иллюстрируется на рис. 3 6.

Рис 36 Зависимость погрешности численного расчета б от интервала

/ - погрешность округле ния, 2 - погрешность дис кретизации 3 - суммар ная погрешность


В двумерном случае областью интегрирования ф(-,. ij) служит ячейка сетки D<. Применяя для вычисленияг

двойного интеграла /( =: J с?а; j Ф(а;, y)dy фор-

мулу трапеций, получаем

/(?)Л2(Ф,.; + ,+1 + -h+i.y+i + Ф„;+1)/4. (3.39).

На рис. 3.7 цифры в узлах сетки иллюстрируют алгоритм вычисления интегралов.

Теперь нетрудно вычислить интегралы в выражениях (3 27) и (3.28), представляя их в виде суммы инте-1ралов по ячейкам Z)\ q=\, 2, Af, где М - число-ячеек. Для упрощения вычислений и записи окончательных выражений введем локальную систему координат г', г', связанную с глобальной г, г соотношениями г = = z-\-ih; r = r+jh, и пронумеруем узлы так, как-

показано на рис. 3.8 Для интерполяции функции ф(г',.



г') (или г|з(л', у')) внутри Z)** воспользуемся двумерным полиномом первой степени (билинейная интерполяция [14J)

ф (г', г') = Л-2 [ф, (Л - г') (Л - г') + ф^г' (Л - г') +

+ Ф,24-фЛЛ-г')г']. (3.40)

п и

Рис. 3 7. К интегрированию двумерной функции (х, ц) по правилу трапеций (о) и по правилу Симпсона (б)

Подставляя (3.40) в (3.27) и (3.28) и используя (3.39), приходим к следующим приближенным формулам интегрирования по ячейке D*: для функционала (3.27):

Р(ч) - I [ уф j Ыхс1у' !

2/3(4-2-f ф|--ф2-ф|)-- 1/3 (ф1ф2 + Ф2Фз+1зФ4 + ФЖ) ~

-2/3(ф,фз+ф2ф4); (3.41)

D<1)

Рис. 3.8. К интегрированию двумерной функции ф(х, у) да основе ее билинейной интерполяции внутри регулярной ячейки сетки D + 0,5ф,фз + О.бфгф!); (3.42)

=Л2/9(ф2-Ьф2+ф2 + ф2 4.4 ф^4.

+ ФгЬ + ФзФ4 + +



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82