|
Главная Резонаторные замедляющие системы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 для функционала (3.28): Ж?) =. j (г' + Д)- I vl* I dzdf -L. И [(ф, ф о(9) я I 3 у + 1 + (Ф2 -Фз)2+(Ф1 (1+у2)1п -Ф4)(>2-ЬЗ)]1П у /2 1П у у у-1,5 Я(я)= J (г' -уЧ-0,5 1 + (Ф4-Ь)Х л (3.43) jhyfdzdr -h\- 2р\п -27+1 (Ф1+ФНМ4)+ у (у + 1)2 1п у + 1 у у + 1 у -у-1,5 y + i -2у(у + 1)Х у + 2у+ 1 [2(фзФ2+Ф1Ф4)+11Фз+Ф2>4] (3.44> Суммируя с учетом введенной ранее сквозной нумерации узлов интегралы (3.41), (3.42) по всем ячейкам сетки, получим формулу для приближенного собственного значения м . м Х'Л) 2 р(?) / 2/?(?). (3.45) Разностные уравнения (3.37), (3.38) справедливы для регулярных узлов сетки, лежащих внутри D на расстоянии d>-h от границы. Для нерегулярных узлов, расположенных вблизи границы (d<h), в разностных уравнениях приходится использовать значения функции ф в узлах, лежащих как внутри области Z) и на ее границе L, так и за ее пределами ( фиктивных узлах). При построении таких разностных уравнений должны учитываться заданные граничные условия и, таким образом, возникает задача их аппроксимации. При этом предполагается, что искомое решение существует и вне исследуемой области на расстоянии порядка h [14, 48J. Рассмотрим сначала более простое условие Дирихле (для общности неоднородное) Ф(/:) = Т. (3.46) Если контур L проходит по узлам сетки (рис. 3.9,а), то для узла /+], / имеем b = (3-47) В противном случае простейшим способом является снос заданных граничных значений функции в ближайшие к границе фиктивные узлы сетки, например <Р-3*) = = (3.48,
Рис. 3.9. Способы аппроксимации граничных условий Дирихле (о, б), Неймана (б, г) н способ интегрирования функции ф(л:, у) на осно- ве ее билинейной интерполяции внутри нерегулярных ячеек Уравнения (3.37) и (3.38) при этом не меняются, поскольку разностный оператор остается равноплечим. Погрешность аппроксимации (3.48) имеет порядок h. Более точная аппроксимация (аппроксимация Коллат-ца) строится следующим образом. Предполагая, что .функция г|1 на интервале W О является линейной, и выбирая центр локальной системы координат в узле 1, получаем , г , /1 \1 /О 4rv4 1 =[?-фо(1-(3.49) что при a = hoi /h=\ (рис. 3.9,6) совпадает с (3.47). Погрешность такой аппроксимации имеет порядок h. Для определения фо вновь теперь можно воспользоваться уравнениями (3.37) и (3.38). Однако можно поступить и иначе. Сместив центр локальной системы координат в узел О и привлекая узел S, сразу получим интерполяционную формулу: Фо=? + (з-?)[ /(!+ )] (3.50) Заметим, что формула (3.50) не зависит от вида исходного дифференциального оператора. Другой подход (аппроксимация Шортли-Уэллера) приводит к видоизмененным уравнениям (3.37) и (3.38) с неравноплечим оператором. Так, для случая, показанного на рис. 3.9,6, разностное уравнение, например (3.38), с учетом (3.36) принимает вид a(l-for) V 2/ +-h-- + Ji-\--)+m%=o. (3.51} 1 + а V 2у / Нетрудно видеть, что при а=1 (3.51) совпадает с (3.38). Погрешность уравнения (3.51) имеет порядок h. Порядок аппроксимации молено увеличить за счет дополнительных узлов и аппроксимировать функцию ф полиномом более высокой степени, например второй. Тогда погрешность будет иметь порядок [48]. Такие формулы целесообразно применять, если для регулярных узлов используются разностные уравнения повышенной точности, например (3.35). Более трудную задачу представляет аппроксимация граничных условий Неймана db{L)ldn = g. (3.52) Расчет фо в нерегулярном узле при этом невозможен, пока на границе или в фиктивных узлах не будут найдены значения самой функции. Для примера на рнс. 3.9,а условие (3.52) с учетом (3.29) переписывается в виде (J,5-1>o)2A = g-, (3.53) что позволяет найти значение функции в фиктивном узле 5. При g = 0 имеем условие зеркальной симметрии ф5=Фо. Для наиболее общего случая (рис. 3.9,6) укажем два способа, основанных на предположении, 0-1271 65 |