4. Устойчивость решения при увеличении числа функций, т. е. при увеличении порядка системы (3.72).

К этому можно добавить требование простоты -минимального числа арифметических операций, необходимого для вычисления функции с заданной точностью.

Заметим, что, если граничные условия задачи для используемого в методе Ритца функционала оказываются естественными (см. § 2.4), базисные функции могут им не удовлетворять. Это относится и к методу Бубнова - Галеркина [68], а также к некоторым другим разновидностям проекционного метода. Отмеченное обстоятельство существенно облегчает выбор базисных функций для областей сложной формы. В то же время сходимость алгоритмов с базисными функциями, не удовлетворяющими краевым условиям, как правило, оказывается слабой.

При выборе конкретной системы функций необходимо учитывать форму области D и вид используемой системы координат. Для двумерных задач с естественными граничными условиями и прямоугольной системы координат наиболее часто применяются полиномиальные базисные и проекционные функции порядка Т [127] ф, гг х у\ т, >0; TO-f < Т\ N=0,5{T + \){Т-{-2)

(3.75)

позволяющие легко вычислять матричные элементы (3.73). Например, для функционала (3.27)

Пусть = хРуЧ; i)j = xy. Тогда

ау - J iprxP+r- yq+s gjp+ryq+s~2) dy;

b,j = xP+y+dxdy

и определение матричных элементов сводится к вычислению интегралов вида x ydx dy по двумер-

ной области D. Если эта область полигональна (рис. 3.12,а), целесообразно представить как сумму интегралов по трапециям (заштрихованная часть D, рис. 3.12,6) с последующим вычитанием аналогичных интегралов по области, внешней по отношению к D (за-

штрихованный треугольник на рис. ЗЛ2,в). После интегрирования по X имеем интеграл от одной переменной

4 = (/;г+1)-1 упут+Ыу,

где У=сг/ +6- уравнение прямой, проходящей через верщины трапеции с координатами (Xq, уо), (Xj, yi) (см. рис. 3.12,6). Последний интеграл наиболее экономично вычисляется с помощью квадратурных формул. Описанный алгоритм использован для расчета электромагнитного поля Я-волн регулярного волновода в [121J.

рис. 3.12. Способ разбиения полигональной области D иа простые

подобласти

К недостаткам полиномиальных систем функций следует отнести их неортогональность даже в областях простой формы. Поэтому в результате их применения получаются плотные матрицы А и В, диагональные элементы которых имеют тот же порядок, что и недиагональные (отсутствует диагональное преобладание). Это обстоятельство затрудняет рещение алгебраической задачи на собственные значения (3.72). Получить матрицы с диагональным преобладанием позволяют проекционные методы на вспомогательном базисе [75]. В качестве базисных в этих методах используются собственные функции задачи (2.18), (2.19) для области правильной формы DC, в которую вписана исследуемая область D (рис. 3.13). При совпадении областей D и D матрица А получается диагональной, а матрица В - единичной, так как собственные функции области D* ) (для самосопряженного оператора 26) ортогональны с весом Q. Когда эти области не совпадают, элементы матриц А и

Рис. 3.13. Область D и расширенная область Do

в, полученные методом Ритца или Бубнова - Галеркина, имеют вид (длярмированных функций ф,)

где лf)-собственные значения задачи (2.18), (2.19) для области Do; б, -символ Кронекера, при этом интегрирование ведется по внешней по отношению к D части Di ). Если отличие области D от D° невелико, матрицы А и В обладают свойством диагонального преобладания. Кроме того, базисные функции удовлетворяют всем условиям задачи на совпадающих участках границы областей D и D(0).

Вспомогательный базис использован в программе расчета волноводов [75J, а также в программе расчета азимутально-однородных -видов колебаний аксиально-симметричных резонаторов ВАРАКС.

Для представления азимутальной составляющей электромагнитного поля резонатора в этой программе используются собственные функции цилиндрического объема единичного радиуса и единичной длины, ограниченного электрическими стенками (на торцевой поверхности z=l могут быть заданы условия типа электрической или магнитной стенки):

Щ^) = 2 <-1 М cos (тг/72С). (3.76)

где Д'; - ДрСУ. /( 1/7:5оО)(У1 (Хо)-нормировочный множитель; р = 0, 1, 2, х„-п-й корень функции Бесселя нулевого порядка; Ар=1, если р = 0; Др=2 при рфО; =1 или £=0,5 для граничных условий типа электрической или магнитной стенки на торцевой поверхности z = = 1; ujj = [(у^ + 1г2/7С^)/8о[Ло]/2 -собственные частоты

t-ro вида колебаний в цилиндре.

В результате подстановки (3.76) в функционал (2.29) и применения метода Ритца получается матричное уравнение (QMQ)X-сй2ВХ = 0, где