ную систему координат х'у' (см. рис. 3.14) и используя (3.87) и (3.5-5), получаем:

г= 2 ф<-*=р| ; (3.90)

cp, = G-i [ad - bc-\-{c - d)x-\-{b-a)y\\

2 = G-{dx-by); (3.91)

срз= а- (ay -сх),

где G = ad-fee - удвоенная площадь треугольника (индекс q в этих выражениях опущен). Функции (3.91) называют пирамидальными. Другим частным примером разложения (3.82) служит формула (3.40), полученная для квадратного элемента (см. рис. 3.8). На практике часто используются конечные элементы более высоких степеней, например квадратичные (7**= 2, NM - 6), кубические (Г< = 3, Л'** = 10) и т. д. Примеры расположения узлов в таких элементах показаны на рис. 3.15.

Если на границе L (см. рис. 3.14) заданы условия Дирихле i3(L)=0, то значения функции г|з в граничных узлах известны и число неизвестных [порядок системы (3.72)] определяется только внутренними узлами. Так, для примера, изображенного на рис. 3.14, порядок системы уравнений N = 3, в то время как .iV = 9. Так как в случае краевых условий Неймана значения функции в граничных узлах неизвестны, порядок системы (3.72) для того же примера возрастает до 9.

Полиномиальные базисные функции (3.75), вообще говоря, не удовлетворяют краевым условиям Неймана, однако их использование для представления рещения в приграничных конечных элементах возможно потому, что эти граничные условия для функционалов (3.27), (3.28) являются естественными. Сходимость МКЭ при использовании функций, не удовлетворяющих естественным граничным условиям, ухудшается меньше, чем классических проекционных методов, так как эти функции аппроксимируют решение только в приграничной части области D. Нерегулярные сетки треугольных элементов используются для расчета РВ и АСР в [133, 143].

Рассмотрим регулярную треугольную сетку, показанную на рис. 3.16,а. Такая сетка позволяет составить одинаковые уравнения для всех внутренних узлов, так как форма и число элементов, окружающих каждый 84

регулярный узел 4 (в отличие от сетки, показанной на рис. 3.16,6), остаются неизменными во всей области. Из рисунка видно, что число элементов, содержащих узел 4, Р4 = 6. Считая функцию в каждом треугольнике линейной, воспользуемся разложением (3.90). Поместив

г

Ю

Рис. 3.16. Регулярная треугольная сетка с одной (а) и двумя (б)

диагоналями

центр локальной системы координат в узел 4 и введя сквозную нумерацию узлов (п=\, 2, 8), с помощью формул (3.91) найдем, что для =1

1-1 л-h

fJ)=-L(jc-y); ср ) =

где h - щаг сетки. Подобным образом можно получить выражения для базисных функций во всех шести элементах. Пусть для определенности оператор двумерного скалярного уравнения (3.23) имеет вид (3.24). Тогда, раскрывая скалярные произведения в выражениях для матричных элементов (3.89), получаем, например, четвертое уравнение системы (3.72)

- 2 - 4-3 + 4 - 1*5 - Фт - 4- (W X

1.+ -(Ф.+Фз+Фз + Ь + Фт + Фв)

(3.92)

Из уравнения (3.92) следует, что матрица В в (3.72), в отличие от матрицы I в (3.69), не является единич-

НОИ, а содержит до семи ненулевых элементов в каждой строке. Если положить

= (ф1 + ф2 + фз +Ф5 + Ф7 + фз),

О

т. е. если вместо значения xi в центральном узле взять значение г|з, усредненное в окрестности этого узла, то (3.92) совпадает с конечно-разностным аналогом (3.37) исходного дифференциального уравнения (3.23). Для уравнения Лапласа ( = 0) оба разностных аналога одинаковы. Таким образом, метод конечных элементов можно рассматривать как вариационный метод построения разностных уравнений. Введем обозначения:

а = 4; 6 = - ф2-фз -фб -фт; с= 1/2; uf= l/12(ф,-f ф2 + фз + ф5-ф7 + ф8) Toгдa (3.92) можно переписать следующим образом:

ф, = [(*,/г)2-6]/[А-(М)с]. (3.93)

Нетрудно убедиться в том, что (3.93) сводится к конечно-разностному уравнению (3.37) при а=4; fc = = -1152-ia-ils-; с=1; d-0 и к уравнению (3.38)

при а=4; Ь = - 2( + ~] -фз-Ф7 11 -17-1-ь

с =: 1; of = О, где у = rjh.

Раскрывая аналогичным образом скалярные произведения в выражениях (3.89) для оператора (3.25), получаем:

а = 31п^----2/In

/2-1

bi- фз-фв)

- ф2In

4*7 In

у In у+1

2 1п-Ш--у(3-у2)1п-