|
Главная Резонаторные замедляющие системы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [ 29 ] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 (3;2 l)ln-i+J--у(3 + /2)1п- Х(Фз4-Ы4--7 7-1 7(У+1)1п -5у /+1 У (+7 + 1 Г 7(/-1)1п + 7- (Ф1 + +2), У-1 7>1- Регулярные треугольные сетки для расчета РВ и АСР использовались в работах [112, 142, 111, 33]. Из изложенного следует, что в зависимости от выбранного способа разбиения области на элементы и способа локальной аппроксимации ф^* на каждом элементе получаются либо плотные матрицы малого порядка (как в вариационном методе), либо редкие большого порядка (как в методе конечных разностей). Для получения системы алгебраических уравнений (3.72) наряду с методом Ритца можно использовать различные модификации метода моментов (§ 3.3), не использующего условий стационарности функционалов и тем самым пригодного для решения более широкого круга задач. В качестве примера рассмотрим алгоритм дискретизации, использованный в программе SUPERFISH [130] и основанный на методе, предложенном Уинслоу [149] для решения нелинейного уравнения Пуассона. Электромагнитное поле азимутально-однородных видов колебаний в аксиально-симметричных резонаторах удовлетворяет уравнению (см. § 2.3). rot rotu - 2u = 0, (3.94) где и = Яед для колебаний -типа и u = i:ej для колебаний Я-типа, а также соответствующим граничным условиям £ = 0, дН/дпО на электрической стенке и Я = 0, дЕ/дп = 0 на магнитной. Для решения (3.94) методом конечных элементов меридиональное сечение резонатора D покрывается топологически регулярной треугольной сеткой \ при этом образующая резонатора аппроксимируется ломаной линией (рис. 3.17). Сопо-стави.м каждой вершине (узлу сетки) два числа: /=1, ... В топологически регулярной сетке любая вершина, расположенная внутри области D, является общей для шести треугольников, /; /=1, /, где /, /(/</)--числа узлов по осям z и г соответственно. Тогда общее число узлов сетки N = = . Введем вторичную сетку из двенадцатиугольников Z)( ), q=\, N, образованных линиями, соединяющими центры масс всех шести треугольников, примыкающих к данной вершине, с серединами их сторон (рис. 3.18). Рис. 3.17. Топологически oerv- Рис. 3.18. Топологически регулярная треугольная сетка, по- лярная треугольная сетка нрывающая двумерную об- (-) и вторичная сетка из ласть D двенадцатиугольников (---) Проинтегрировав (3.94) по площади двенадцатиугольника и применив теорему Стокса (П1.13), получим rotucfL -J udD = 0, (3.95) где -граница двенадцатиугольника Z)f ). Функцию Е или Я представим в виде разложения по базисным функциям (3.82), использовав в качестве последних полиномы первого порядка. Так как базисные функции выражаются через значения неизвестной функции в вершинах треугольников, подставив (3.82) в (3.95), получим £niK + k4V ) = 0- (3.96) Здесь г|з„-значения функций Е или Я в центральном ( = ?) и окружающих его узлах, а коэффициенты V и W зависят только от координат этих узлов. (Каждому индексу п соответствует определенная комбинация индексов i, j.) Соотношение (3.95) после подстановки в него (3.82) можно рассматривать как частный случай формулы моментов (3.71), если приравнять в (3.73) весовые функции ф,-=1, г=1, 2, М. Когда центральный узел находится на границе, интегрирование в (3.95) необходимо проводить только по внутренней части многоугольника (см. рис. 3.17). Отсюда следует, что для условий Дирихле в (3.96) ф,=0; Vg-O; U?, 1; W = = V =0, n ф q. Для условий Неймана линейный интеграл в (3.95) по границе расчетной области равен нулю и вклад в (3.95) дают только внутренние узлы. Записав уравнения (3.96) для всех двенадцатиугольников сетки, получим матричное уравнение CiiCi2 С21С22С23 С32СЗЗС34 Cj, y i Су, / = 0, (3.97) где lj = 1 tijUj... Cy-квадратные матрицы по- рядка /, причем С - содержат по три ненулевых элемента в каждой строке, а Су (г^/) - не больше трех, так что в каждой строке (3.97) находится не более семи ненулевых элементов. Используя блочную структуру матрицы С, можно преобразовать ее в верхнюю треугольную, что облегчает последующие вычисления. Для этого все диагональные блоки С,-,- трансформируются в единичные матрицы, а нижние недиагональные исключаются методом Гаусса. Такое преобразование возможно, если в систему уравнений (3.97) включены внешние по отношению к рассматриваемой области узлы сетки. Дискретизацию однородных уравнений Максвелла (В.Ю), (В.11) возможно проводить также методом Бубнова-Галеркина. Выберем систему базисных функций {ф,}, которая в частности, может совпадать с (3.81). Помножив (В.Ю) на фу и проинтегрировав по области получим: г^( ) J ФуГо1ШО = io)s J фу EdD. |