Главная  Резонаторные замедляющие системы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [ 29 ] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

(3;2 l)ln-i+J--у(3 + /2)1п-

Х(Фз4-Ы4--7

7-1 7(У+1)1п

-5у

/+1 У

(+7 +

1 Г

7(/-1)1п

+ 7-

(Ф1 + +2),

У-1 7>1-

Регулярные треугольные сетки для расчета РВ и АСР использовались в работах [112, 142, 111, 33].

Из изложенного следует, что в зависимости от выбранного способа разбиения области на элементы и способа локальной аппроксимации ф^* на каждом элементе получаются либо плотные матрицы малого порядка (как в вариационном методе), либо редкие большого порядка (как в методе конечных разностей).

Для получения системы алгебраических уравнений (3.72) наряду с методом Ритца можно использовать различные модификации метода моментов (§ 3.3), не использующего условий стационарности функционалов и тем самым пригодного для решения более широкого круга задач. В качестве примера рассмотрим алгоритм дискретизации, использованный в программе SUPERFISH [130] и основанный на методе, предложенном Уинслоу [149] для решения нелинейного уравнения Пуассона. Электромагнитное поле азимутально-однородных видов колебаний в аксиально-симметричных резонаторах удовлетворяет уравнению (см. § 2.3).

rot rotu - 2u = 0, (3.94)

где и = Яед для колебаний -типа и u = i:ej для колебаний Я-типа, а также соответствующим граничным условиям £ = 0, дН/дпО на электрической стенке и Я = 0, дЕ/дп = 0 на магнитной. Для решения (3.94) методом конечных элементов меридиональное сечение резонатора D покрывается топологически регулярной треугольной сеткой \ при этом образующая резонатора аппроксимируется ломаной линией (рис. 3.17). Сопо-стави.м каждой вершине (узлу сетки) два числа: /=1, ...

В топологически регулярной сетке любая вершина, расположенная внутри области D, является общей для шести треугольников,



/; /=1, /, где /, /(/</)--числа узлов по осям z и г соответственно. Тогда общее число узлов сетки N = = . Введем вторичную сетку из двенадцатиугольников Z)( ), q=\, N, образованных линиями, соединяющими центры масс всех шести треугольников, примыкающих к данной вершине, с серединами их сторон (рис. 3.18).


Рис. 3.17. Топологически oerv- Рис. 3.18. Топологически регулярная треугольная сетка, по- лярная треугольная сетка

нрывающая двумерную об- (-) и вторичная сетка из

ласть D двенадцатиугольников

(---)

Проинтегрировав (3.94) по площади двенадцатиугольника и применив теорему Стокса (П1.13), получим

rotucfL -J udD = 0,

(3.95)

где -граница двенадцатиугольника Z)f ). Функцию Е или Я представим в виде разложения по базисным функциям (3.82), использовав в качестве последних полиномы первого порядка. Так как базисные функции выражаются через значения неизвестной функции в вершинах треугольников, подставив (3.82) в (3.95), получим

£niK + k4V ) = 0- (3.96)

Здесь г|з„-значения функций Е или Я в центральном ( = ?) и окружающих его узлах, а коэффициенты V и W зависят только от координат этих узлов. (Каждому индексу п соответствует определенная комбинация индексов i, j.) Соотношение (3.95) после подстановки в него (3.82) можно рассматривать как частный случай



формулы моментов (3.71), если приравнять в (3.73) весовые функции ф,-=1, г=1, 2, М. Когда центральный узел находится на границе, интегрирование в (3.95) необходимо проводить только по внутренней части многоугольника (см. рис. 3.17). Отсюда следует, что для условий Дирихле в (3.96) ф,=0; Vg-O; U?, 1; W = = V =0, n ф q. Для условий Неймана линейный интеграл в (3.95) по границе расчетной области равен нулю и вклад в (3.95) дают только внутренние узлы.

Записав уравнения (3.96) для всех двенадцатиугольников сетки, получим матричное уравнение

CiiCi2

С21С22С23 С32СЗЗС34

Cj, y i Су, /

= 0, (3.97)

где lj = 1 tijUj... Cy-квадратные матрицы по-

рядка /, причем С - содержат по три ненулевых элемента в каждой строке, а Су (г^/) - не больше трех, так что в каждой строке (3.97) находится не более семи ненулевых элементов. Используя блочную структуру матрицы С, можно преобразовать ее в верхнюю треугольную, что облегчает последующие вычисления. Для этого все диагональные блоки С,-,- трансформируются в единичные матрицы, а нижние недиагональные исключаются методом Гаусса. Такое преобразование возможно, если в систему уравнений (3.97) включены внешние по отношению к рассматриваемой области узлы сетки.

Дискретизацию однородных уравнений Максвелла (В.Ю), (В.11) возможно проводить также методом Бубнова-Галеркина. Выберем систему базисных функций {ф,}, которая в частности, может совпадать с (3.81). Помножив (В.Ю) на фу и проинтегрировав по области получим:

г^( )

J ФуГо1ШО = io)s J фу

EdD.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [ 29 ] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82