Используя соотношения (П1.8) и (П1.13), преобразуем эти выражения к виду:

f lhj, H]eedZ) + l< E j EeeufD jHdL.

jV Л'

Подставив разложения Ев = а ; Je =

л=1 п=1

приходим к однородной системе 2N алгебраических уравнений относительно коэффициентов а„, Ь„

= 0,

где С, D. R, М -квадратные матрицы порядка N, структура которых подобна структуре матрицы С в (3.97); X и Y - векторы-столбцы, содержащие узловые значения функций Е,) и Яе.

В областях с криволинейными границами применение многоугольных элементов не обеспечивает точного отображения формы области. Возможно применение элементов с криволинейными границами, однако в этом случае сильно усложняется определение матричных элементов. Так, в формулах (3.89) необходимо вычислять интегралы по криволинейным областям. Другая возможность состоит во введении для каждого криволинейного элемента локальной системы координат (, т)) таким образом, чтобы его границы в этой системе описывались уравнениями g = const, T) = const (изопараметри-ческие элементы) [96].- Функция г|; аппроксимируется полиномами относительно новых координат, и интегралы (3.89) вычисляются по областям простой формы в криволинейных координатах , ц. Затем из полученного решения Х(, т)) с помощью обратного преобразования получают Х(х, у). Введение изопараметрических элементов иллюстрируется на рис. 3.19. Пример использования таких элементов для расчета АСР приводится в [82].

Серьезной проблемой МКЭ является автоматизация процесса разбиения области на элементы. Полностью автоматизированные подпрограммы триангуляции подходят для выпуклых областей, однако если область име-

ет углы, то предварительную грубую триангуляцию (или разбиение области на элементы какой-либо другой формы) приходится производить вручную. Сгущение грубой сетки может достигаться разбиением каждого треугольника на четыре подобных (что почти эквивалентно увеличению аппроксимации, см. рис. 3.15). Следует отметить, однако, что различные конфигурации сеток для одних и тех же задач могут приводить к различным численным результатам (см. § 3.9).

Л

Рис. 3.19. Криволинейный элемент (а, 6) и его отображение (в)

Эффективным способом повышения точности числен-Цого решения в задачах с особенностями является локальное сгущение сетки за счет увеличения порядка аппроксимаций в элементах, содержащих данную особенность. Другой подход заключается в добавлении к последовательности (3.82) таких сингулярных функций

что функция -2 ф(?)ср9) получается глад-

кой. Существенно, чго сингулярные функции достаточно ввести только в локальной подобласти около каждой особенности. Эта идея во многом аналогична изложенной в § 3.2 и детально обсуждается в [96].

3.5. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Как отмечалось в гл. 2, электромагнитное поле свободных колебаний в ЭС может быть найдено в результате решения однородного интегрального уравнения. В общем случае этот метод связан с использованием тензорной функции Грина [75]. Однако в ряде случаев удается ввести скалярную функцию Грина, что значительно упрощает решение. Такая возможность возникает, в частности, в связи с тем, что решение уравнений (2.3) может быть записано в виде (2.5).

Рассмотрим замкнутую область V, окруженную идеально проводящей поверхностью 5 (рис. 3.20). Решая задачу о свободных колебаниях, полагаем, что внутри области V сторонние токи и заряды отсутствуют (J - = 0). Если в V существует электромагнитное поле, по поверхности S течет ток, имеющий поверхност-g ную плотность Jjp(/), где Р - точка, принадлежащая поверхности S. Используя выражение (2.5), можно определить вектор f-* Герца в точке Q, лежащей внутри области V:

rMQ) = -(i >B)- X

X §3AP)G{P, Q; k)dSp. (3.98)

Выражение (3.98) обладает свой-Рис. 3.20. К вычислению ствами потенциала простого слоя электромагнитного поля цоо]. На идеально проводящей

уравни? поверхности вектор Герца дол-

жен удовлетворять граничному условию (2.9) (М)=0, где М - точка поверхности S. Так как потенциал простого слоя непрерывен при Q->-M, справедливо равенство

- 1а)8р(Ж)=(J,(P)G(P, М; k)dSp, е.(Ж)) =0.(3.99) Is /

Векторное уравнение (3.99) эквивалентно системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода относительно проекций вектора поверхностной плотности тока {Р) на оси выбранной системы координат. Поскольку функция Грина имеет особенность при Rpq -0, уравнение (3.99) сингулярно. Ненулевые рещения этого однородного уравнения возможны только при определенных значениях волнового числа k, являющихся собственными значениями данной задачи.

Другую формулировку рассматриваемой задачи получим, использовав граничное условие для магнитного поля lim [По (Ж), H(Q)] = -J,(M), MS, QV.

Так как H(Q) = - iwe [уд, r(Q)], применяя выражение (3.98), имеем

3{М) = Птф[щ{М), [J,(P), Vq]]G(P, Q; k)dSp.{3.m} 92