Главная  Резонаторные замедляющие системы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

Поскольку в подынтегральное выражение входят пространственные производные функции Грина, записанный интеграл обладает свойствами потенциала двойного слоя [100J, имеющего разрыв на поверхности 5. Переходя в выражении (3.100) к пределу и учитывая указанное свойство, получаем уравнение Фредгольма второго рода

1,5;Л^И)-[По(Ж), ШР), Vm]]G{P, М; k)dSp = Or

(3.101)

ядро которого имеет более слабую особенность, чем ядро (3.90). Поэтому в ряде случаев, несмотря на сложность уравнения (3.101), его использование более целесообразно.

Рассмотрим применение полученных уравнений для расчета поля в регулярных волноводах. Из выражений (3.7) - (3.10) и условия (2.8) следует, что на критической частоте (у = 0) (Р) -(/>) для Е-волн и 3{Р) = У^{Р)е[ для Я-волн, где е; (Р) -орт касательной к контуру направляющей в точке Р (см. рис. 3.1). Так как зависимость от координаты z отсутствует {1 - = con.st), решение задачи ищем в двумерной области Z), расположенной в плоскости поперечного сечения волновода и ограниченной контуром направляющей L. Используя функцию Грина двумерного уравнения Гельм-гольца (2.7), уравнение (3.99) для Б'-волн запишем в виде

§ (Р) Ко (kRpM) dip = 0. (3.102)

Для Н-волн получаем несколько более сложное выражение

§ J, (Р) (е, (Р), (М)) Го {kRpM) dip 0. (3.103>

Наиболее распространенным методом дискретизации уравнений (3.102) и (3.103) является метод моментов-(§ 3.3). В данном случае, однако, целесообразно использовать одномерные базисные (/)} и весовые {фл(0} функции, определенные на контуре направляющей L. Соответствующим образом необходимо опреде-

лить и скалярное произведение: (, ф*) = f Ф^Фт.-



Приближенное решение уравнений (3.102) и (3.103) представляется в виде разложения по базисным функциям J*/* = 2 п^п- Используя далее стандартную

процедуру метода моментов, получаем матричное уравнение

ZI:=0, (3.104)

тде 1=-Кь h, InY -вектор-столбец неизвестных коэффициентов разложения; Z - квадратная матрица порядка iN с коэффициентами:

z = (dLM§f?l(M)n(P) Yo{kRpM)dLp для £-волн;

= §dLMJ> ф; (М) 4 (Р) (е, (Ж), е, (Р)) Го (*/?pai) dip для -волн.

Критические волновые числа волновода fe находятся цз условия равенства нулю определителя системы (3.104): detZ(fe)=0. Затем для каждого найденного значения ki с помощью (3.104) находим распределение токов на стенках волновода (с точностью до постоянного множителя).

Одним из наиболее ответственных моментов при реализации изложенного метода является выбор базисных и весовых функций, который должен осуществляться так, чтобы исключить бесконечные (или очень большие) значения диагональных элементов матрицы Z, обусловленные сингулярностью исходных интегральных уравнений.

В работе [145] в качестве базисных и весовых используются треугольные функции, для построения которых направляющая поверхности волновода L точками ll, h, =l\ разбивается на сегментов неравной длины (см. рис. 3.20). На каждом сегменте определяются векторные функции

ф„ = ф„==Г(/-/ )а„, /г=1, 2.....N, (3.105)

тде

0. /</ !,/>/ +,;

Т (1-1,) = 1(1- / ,), </</ ;

[l-(/-/ );(/ +,-/ ), 1 <1<1 ,



- треугольная функция; / - координата, отсчитываемая вдоль направляющей; a,j - единичный вектор, направленный из точки / в точку / +! Как отмечается в [145], применение таких функций обеспечивает получение хорошо обусловленной матрицы Z и увеличение скорости сходимости примерно в 2 раза по сравнению с алгоритмами, использующими импульсные функции. Исхо-

дя из интегрального уравнения 0,251ш(а 0[1--

4- (icoEjx)-!vp] (Р) {k Rpm) dLp = 0 и используя (3.105), получаем следующее выражение для матричных элементов:

г„ = -0,25/ dlM Т [xvT{Im-IJT{Ip~

X (a,a ) + (icos)-i r {Im - L) T (h - / )] HfkRup) dip.

(3.106>

Вычисление интегралов в полученном выражении проводится методом прямоугольников. Сегмент Ц^-и a+i) разбивается на четыре участка Д/*, s=l, 2, 3, 4, и полагается, что функция Г принимает постоянное значение Т^> в пределах каждого участка:

0,5 (/, -1,), 5=1,2; Г0,25, s = 1, 4;

0,5 (/,+, - /,), 5 .-= 3, 4; 10,75, s = 2, 3. Так как

dl \- IIM s=3, 4, формула для матричных элементов принимает вид

г(; ) = (16ше)- 2 [4(Ш,)(Мд TJgia а,)+ 1]G, где (3.107>

Ug,= l--In , g--s, т = п;

тг 8е

Од = Щ'ЧШря), дфЗ, тфп; Y - постоянная Эйлера.

Д/(*) =

У



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82