Главная  Резонаторные замедляющие системы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

Полученную систему линейных алгебраических уравнений запишем в матричном виде

СХ = 0, (ЗЛИ)

где С - квадратная матрица с коэффициентами

т„ = -/ (*Р„)е--л; (ЗЛ12)

X - вектор-столбец коэффициентов разложения. Ненулевые решения уравнения (3.112) возможны, только если detC = 0. Определив из этого уравнения собственные значения, затем обычными методами (например, вычеркиванием строки и столбца из матрицы С) найдем коэффициенты разложения.

Близкий к описанному алгоритму подход (метод нулевого поля) основан на приравнивании нулю электромагнитного поля вне оболочки волновода. Используя условия излучения Зоммерфельда, электрическое поле вне волновода можно записать в виде [139]

(Q) = - 0.25COSX ф J {P) (kRpQ) dip, (3.113)

где (P) - поверхностная плотность тока на стенках волновода.

Используя теорему сложения для бесселевых функций [16], функцию Ганкеля в (3.113) можно разложить в ряд

.С. 6)= 2 LMe--e ()-y y,(*p)e-- <Prf/, /->Ро,

где через р, ф обозначены координаты точки на контуре волновода; ро = гаах(р) максимальное значение р на направляющей L (см. рис. 3.21). Чтобы на L обращалась в нуль, все коэффициенты разложения в (3.1 4) должны равняться нулю:

§; {1)У„{к?)е- Ы1 = 0, т^О, ±1, ±2, ...

Разобьем контур L на 2М--1 отрезков, в каждом из которых выберем точку с координатами р„, ср . На каждом отрезке полагаем У„(/) = У„(р„, ср )=У„, ti-\, ...

2Ж-1-1.Ограничившись в разложении (3.114) 2М+\ членами, имеем систему уравнений

2Л1-1-1

2 y y (pJe-J P = 0, -М<т<М. (3.115)



которую можно получить из (3.110) взаимной заменой строк на столбцы. Записав уравнение (3.115) в матричной форме DX = 0, видим, что D = C и, следовательно, определители матриц С и D совпадают. Это означает, что найденные из уравнения (3.111) и аналогичного уравнения DX = 0 собственные значения одинаковы.

Для Я-волн продольная составляющая магнитного поля

- COS (а -f е - ср)

sin(a + 6 -tp) д

где J (I)-поверхностная плотность тока, текущего вдоль контура L; cos я - (е^, е„). Применив вышеизложенную методику дискретизации, получим уравнение cletQ = 0, где Q - квадратная матрица порядка 2M--I, элементы которой

Яшп = Un,-i № J е- - (kpn) е-- ] е-- -п (3.116)

Матричным элементам (3.112) и (3.116) можно придать более удобный с вычислительной точки зрения вид, умножив (3.115) на / е' . Просуммировав но m и использовав интегральное представление функций Бесселя, получим

Лг(Оехр [iA;p cos(-cp )]rfL=rO, п=1, N,

что приводит к однородной системе уравнений вида (3.115) с матричными коэффициентами

с„ = exp(iftp соз(ф„-(р„)). (3.117)

В отличие от (3.112), все матричные коэффициенты (3.117) имеют один и тот же порядок.

Для Я-волн аналогичное преобразование позволяет получить матричные элементы 9 = ехр [ip cos (ф„ - - cpjjcos (а„-Т„ + Фт)-

Детальное сравнение метода точечного согласования с методом нулевого поля проведено в [114-117]. В частности, в [116] показано, что разложение (3.109) для поля внутри волновода не является полнымдля не-выпуклых областей, не обладающих плоскостью симметрии. Действительно, используя точное решение



(3.113) и теорему сложения, можно записать выражения для вне и внутри направляющей волновода:

Ez= 2 - §->р =

= 2 е Л. () - (*Р) е- dL, г < ро-

Выберем некоторую точку Р (гр, Ор) на контуре L и разделим этот контур на две части а(гр) и (Гр), на которых г<гр и г>Гр соответственно. Исходя из записанных выше формул, электрическое поле в точке Р

ЕАгр, Вр)= 2 \H(Kkrp)J,Al)Jn,{kp)~ dL+-

+ y, (ft/-p) jy (0/i(ftp)e--rfZ.

е' р. (3.118)

Сравнив разложения (3.109) и (3.118), видим, что первое не является полным, так как в нем отсутствуют члены с Efj>(krp)- Эти члены играют существенную роль, если контур L сильно отличается от окружности. В то же время, если контур L симметричен относительно прямой 0 = 0, а (О -действительная и четная или мнимая и нечетная функции (что справедливо для любого волновода с плоскостью симметрии на симметричном или антисимметричном типе волны), выражение (3.109) является действительной частью (3.118). Так как действительная и мнимая части (3.118) должны приравниваться нулю по отдельности, это доказывает применимость метода точечного согласования для нахождения критических частот волновода. В то же время при вычислении поля метод может давать существенную погрешность.

Отмеченных недостатков лишен метод нулевого поля, который, как отмечается в [139], дает хорошие результаты, если функции, аппроксимирующие распределение плотности тока по контуру волновода, содержат такую же особенность, как и указанное распределение вблизи острых ребер.

Избежать трудностей, связанных с неполнотой разложения (3.109), позволяет также метод [20], основанный на использовании решений уравнения Гельмголь-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82