ца, полученных И. Н. Векуа. Им показано, чго все решения уравнения (3.2), регулярные в односвязной области D комплексной плоскости w = k{x + iy), ограниченной контуром L, можно представить в виде

j{x, у)аоЛо(г-74) тКе {t) X\w* (w ~ t)A\dt,

о

где ао = (0, 0); Ao(w)-лямбда-функция нч.тевого порядка; r=jt£); <р(/)-произвольная аналитическая в области D функция. Вычислив с помощью этой формулы значения ф в iV заранее выбранных точках границы и испо.тьзовав граничные \словня, можно получить однородную систему линейных уравнений относительно значений функции <р в этих точках. Приравняв опрсде-.титель этой системы нулю, получил! }равненис для определения критических волновых чисел волновода.

3.7. МЕТОД ЧАСТР1ЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Разделение объема ЭС на области простой формы- исторически первый способ численного расчета сложных закрытых электродинамических систем. Дальнейшее его развитие привело к созданию метода частичных областей (МЧО), который благодаря своей простоте и эффективности в настоящее время применяется для решения самых различных задач электродинамики СВЧ, в том числе задач расчета резонаторных ЗС (см. § 5.3), резонаторов и волноводов сложной формы.

h г Как отмечалось в § 2.8, су-

ществует много модификаций Рис. 3 22. Разбиение МЧО, отличающихся способа-объема тороидального разбиения ЭС на частич-

резонатопа на часгнч- ,

ные обтагти ic области п сшивания по-

тей на границах раздела. Не пытаясь в данной книге описать все эти разновидности (более полные сведения имеются в [92]), рассмотрим сущность метода на простом примере расчета азимутально-однородных видов свободных колебаний в тороидальном резонаторе с цилиндрическими обо-

лочкой ii втулкой (рпс. 3.22). Для определенности ограничимся колебаниями Ь-типа.

В соответствии с § 3.1 для описания электромагнитного поля в резонаторе используем функцию ф(/, z), удовлетворяющую уравнению (3.18), а также граничным условиям (3.11) на образующей идеально проводящих стенок резонатора и (3.22) на его оси. Электромагнитное поле выражается через функцию ф с помощью соотношений (3.21). Разделим меридиональное сечение резонатора D (рис. 3.22) линией АА на две частичные области прямоугольной формы. Общее решение уравнения (3.18), удовлетворяющее граничным условиям (3.11) п (3.22) в каждой из областей, имеет вид:

6i)fAJ,{y.r)cos: z; (З.П9)

6<2)= 2BF,{v)cosz, (3.120)

ш-О

где

(т, г) =г у, (г;, г) Л (rib) - Л (т, г) V, i-qj); = nrJd; I = mr.ld; v. = ft - rl k- II-

В соответствии с выражениями (3.21) электромагнитное поле рассматриваемых видов колебаний содержит три отличные от нуля составляющие: Е^, Е^ и Иц. Потребовав их непрерывности на границе раздела областей, получим условия сшивания:

Ф){а, 2) г= ф){а, 2); (3.121)

Waii!(a 0<.<rf, (3.122) дг дг

которые используются для нахождения неизвестных коэффициентов в выражениях (3.119) и (3.120).

Один из наиболее распространенных способов удовлетворения условиям сшивания - задание функции распределения поля на границе раздела областей. Пусть, например, Е^(а, г) = - /(г:), ОсгсЛ, тогда (?ф 2)(а, г) дг =f{z). Функция распределенияf (г) может быть задана исходя из физических соображений или данных эксперимента. Для резонаторов с закругленным ребром втулки в первом приближении f(2)=const [11]. Для втулки с острыми ребрами часто используют

функцию f{z) = [l - (z/d)]-, учитывающую наличие особенности поля вблизи ребра [92] (см. § 2.2). В соответствии с формулой (2.15) т = 2/3 для втулок без пролетной трубы (сеточный зазор) и т=1/2 для тонких втулок с пролетными трубами (бессеточный зазор).. На промежутке fl(<z</i, f{z) = 0. Продифференцировав (3.119) и (3.120) по г и приравняв результат разложению функции f{z) в ряд Фурье на промежутке (О, d), получим:

/ (z) cos {(, z) dz, (3.123)

--- f / (2) COS ( 2) dz, (3.124)

где s =; 1/2, если = 0; = 1, если я 0.

В выражения (3.123) и (3.124) входит неизвестное собственное волновое число k. Для его определения под-ставии 23) и (3.124) в (3.121), предварительно ус-1 диив и ф() по промежутку (О, d):

Г (г) со;

fiz)dz.

> ------- f{z) cos izdz cos l ,zdz =

xdJi (xga)

Взяв конечное число членов ряда, стоящего в левой части этого выражения, получим уравнение для определения собственных частот резонатора.

Введем входные проводимости частичных областей на границе раздела

2md- f Щ'Ца, z)dz

К . 2) +----=

[((й. z)dz

о

2uiaM-i Jfi-2)(a, z)dz

= + -

7)3 1/(2) dz