Как видно, условие (3.121) равносильно приравниванию нулю суммы входных проводимостей частичных областей на поверхности раздела. Описанный метод решения используется для расчета диафрагмированных волноводов, гребенчатых ЗС [99J, а также в данной книге (см. § 5.3). Основной его недостаток связан с использованием заданной функции распределения поля f(z), что может привести при неправильном ее выборе к неверным результатам.

Более строгий метод сшивания не требует предварительного задания функции f{z). Подставив (3.123) и (3.124) в (3.121), получим интегральное уравнение относительно этой функции

tS.125)

или в операторной форме

Xf{z) = Q. (3.126)

Уравнение (3.126) можно решать различными численными методами, в частности методом Бубнова-Галеркина (см. § 3.3). Будем искать приближенное решение уравнения (3.125) в виде

/(г) = 2ауфу(2), (3.127)

где {фу} -полная система базисных функций. Подставив это разложение в (3.125) и наложив условия ортогональности

fJ/WflfzO, 7 = 1, 2, yV, 6

получим систему алгебраических уравнений D(yfe)A = 0, где А = 2, aY -вектор коэффициентов разложения (3.127); D -квадратная матрица порядка N с элементами

0 /1-0 i (. J 0

d ~ 2- (yi a)

X f Ф,(2) C0SC 2rf2- У -- j4;(2o)cOS Z<,flf2,X

X J ФЛ) COS i 2flf2r. (3.128)

Собственные волновые числа определяются как корни уравнения detD = 0, после чего с помощью матрицы D вычисляются собственные векторы А;, г=1, 2, jV, определяющие распределение поля на границе раздела {г-а). Коэффициенты разложения полей в частичных областях находятся по известной функции f{z) с помощью формул (3.123), (3.124). Отметим, что вычисление каждого элемента матрицы D требует суммирования бесконечных рядов (3.128), которые сходятся достаточно медленно. На практике в этих суммах необходимо учитывать несколько десятков членов.

В качестве базисных функций можно использовать полиномы, тригонометрические функции [137] и другие системы. Существенное увеличение скорости сходимости решения при увеличении порядка матрицы D может быть достигнуто за счет введения базисных функций, обладающих той же особенностью вблизи ребра втулки, что и искомое решение. В частности, в [64] применяется ортогональная на промежутке (О, d) с весом p(z) система функций, каждая из которых имеет требуемую особенность и удовлетворяет граничным условиям задачи приг= 0: ф^. =p(2)q6,(z/rf), гдер(2;) = [1 - -(2:/rf)2]-3; C?j-полином Гегенбауэра; Ь = 0 при д-1ду = 0 и Ь = 1 при г|5 = 0 на границе 2 = 0. Использование этих функций приводит к следующему выраже-HJJJD для матричных элементов [64]:

рч 2 -ТГ,-Г ( -

о -ndJxk-nO)

Z-Т^,-Г JЛ^nd)JЛ^ddУ

=о -Пп/гРЛЪпа)

где Л (х) = Л (л) х-48; V = 0, 1; j = 1, 0.

Несмотря на простоту численной реализации метода частичных областей, он мало пригоден для создания программ расчета ЭС произвольной формы. Этот недостаток связан с тем, что аналитические решения уравнений Максвелла существуют только для областей простой формы (круг, прямоугольник и т. д.). Кроме того, для каждой формы области используется своя система функций. Увеличение универсальности МЧО возможно за счет перехода к численному расчету полей в частичных областях. Эта возможность рассматривается в §5.3.

3.8. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ВЕКТОРОВ

Рассмотрим систему линейных однородных алгебраических уравнений

C{k)XO, (3.129)

которая получается в результате дискретизации исходной задачи одним из описанных выше методов. Здесь С - квадратная матрица порядка N, коэффициенты которой зависят от волнового числа к; X - вектор-столбец, компоненты которого приближенно описывают электромагнитное поле собственных колебаний. Ненулевые решения этой системы возможны при

del С {k) = 0.

(3.130)

Корни этого уравнения ki, ki,... есть приближенные значения собственных волновых чисел различных видов свободных колебаний (волн) ЭС. Если уравнение (3.130) решено, собственный вектор, соответствующий волновому числу ki, легко находится из уравнения (3.129) вычеркиванием любой строки и любого столбца матрицы С. Действительно, подставив в (3.129) k = ki, определим все элементы c матрицы С. Положив затем Xj==\ и вычеркнув /-ю строку, получим систему Л^-1 уравнений, определяющую собственный вектор

-1112

CiN

-Jru 1 -/4-1, 2

...с.

...Cnn

.Cn, /-I Cn, i+\

(3.131)

Таким образом, поставленная задача принципиально решена. В то. же время практические трудности, возникающие в процессе решения, могут быть настолько велики, что достижение конечного ре-