Главная  Резонаторные замедляющие системы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

Скорость сходимостп процесса (3.140) определяется отношением Aiw-l 1< торое при больших N может быть очень близким к единице. 1 ак как порядок матрицы .V равен числу узлов сетки, наложенной на область D, вычисления целесообразно выполнять на последовательности сеток, увеличивая число узлов каждый раз после выполнения критерия (3.142) и интерполируя найденные узловые значения в новые узлы. Эта процедура легко выполняется при использовании регулярных сеток.

Повысить точность приближенного решения можно путем экстраполяции значений собствепны.х чисел и векторов, полученных на нескольких сетках к бесконечному числу узлов (экстраполяция Ричардсона [67]). Так, если для дискретизации используется последовательность сеток с умеиьишющимся в 2 раза шагом Л, экстраполированные значения находятся по формулам

Х„ = (4 3) X, 2 - (1/3) X,; К = (4/3) hi2 - (1 /3) 1

где Х^,2, л^ 2, X/J, If, - значения собственных векторов и чисел на последней и предпоследиеп сетках.

Вычисление наи.меньшего собственного значения можно производить степенным методом со сдвиго.м. Введя матрицу D и положив a = Лдг-fg, >0, видим, что наименьшему собственному числу /-1 матрицы А соответствует наибольшее по модулю собственное число ,идг матрицы D. Итерационный процесс (3.140) с матрицей D, таким образом, сходится к Цд и искомое собственное число

Ц ) =z а -Ь (DX< --, XC-O/CXi -), Х( -)).

Оценку верхней границы спектра матрицы А, полезную при выборе параметра сдвига а, дает теорема Гершгорииа [103]:

X.v<max 2 I а,ц ! - = 1.

Если матрицы А и В симметричные и положительно определенные, для вычисления наименьшего собственного значения задачи можно использовать эффективный .метод последовательной вер.хней релаксации (ПВР), Представи.м матрицу С = А-ЯВ в виде суммы нижней треугольной L, диагональной D и верхней треугольной и матриц: C = L-fD+U. Начиная с произвольного вектора Х* -*, построим итерационггын процесс

Х( ) = (D + coL)- [(] - ш) D - cot/] Х( -1) = Н (ш, X) Х( -1),

п^\, 2, (3.143)

где постоянная ш(1<ш<2) называется коэффициентом релаксации. Очевидно, что метод ПВР эквивалентен степенному методу с

матрицей Н. Разложив Х' по собственным векторам этой матри-N

цы Х< * = V й,.р,., получим Х< > = а,х,\ Р^ 4- ...а^, \Рд, , -f

-1-ЙД7 ;>-Рд,. Собственные векторы матрицы Н совпадают с собственными векторами задачи (3.132), и при /. = /./ модуль наибольшего



собственного числа (х^, соответствующего вектору Рд, = X,-, равен единице [147]. Поэтому Х' стремится к собственному вектору X,-. Если X¥=ki, i=l, 2, N, наибольшее собственное число матрицы Н соответствует наименьшему собственному числу задачи

(3.132) и отлично от единицы. В результате Х' стремится к собственному вектору Xi (с точностью до постоянного множителя), увеличиваясь или уменьшаясь по модулю. Скорость сходимости определяется отношением которое зависит от коэффици-

ента релаксации о), порядка матрицы А и текущего значения к. В связи с этим необходимо в процессе вычислений уточнять значение к с помощью функционалов (3.27) или (3.28) или частного Рэлея

= (АХС-), Х( -1))/(ВХ( ->. Х( -)). (3.144)

Уточнение можно проводить каждый раз после выполнения определенного числа (4--10) итераций (3.143). Хотя сходимость такого двойного итерационного процесса не доказана [147], он широко используется на практике [ПО, 61, 32]. Скорость сходимости метода ПНР существенно увеличивается при проведении вычислений на последовательности сеток. Наб.пюдавшиеся случаи расходимости этого метода [130] связаны, по-видимому, с использованием матриц очень большого порядка (Л'>15 000) и одной сетки.

Оптимальное значение коэффициента релаксации о), обеспечивающее наибольшую скорость сходимости, зависит от порядка матрицы А и степени приближения вектора Х' * к собственному вектору. Теоретическая оценка Wopt дается формулой Янга [14,

95]: opt = 2/(1 + - \ \ ) Однако, поскольку значение рд неизвестно, часто применяется формула [123]

opt -

где р' =

-1-/ -( + o pl-l)7P ><;t] , (3.145)

2 (4 -4 -)2/2 (4 - -4 - )

,4=1 ft=l

- относительная невязка вектора X; <o[,pj -текущее значение коэффициента релаксации. С помощью формулы (3.145) значение coopt может уточняться в процессе вычислений. Более простая формула имеет вид со ,. = 2/(1 + (3.146)

где с>0, 0>О.- константы, выбор которых зависит от конкретной задачи. Последняя формула дает хорошие результаты при проведении вычислений на последовательности сеток.

Для выполнения итерационного процесса методом ПВР нет необходимости обращать матрицу (D-bo)L). Действительно, выражение (3.143) может быть представлено в виде Х' = Х' ~ -

- (oD-* [LX< + (D + U) X< -)].

Для задачи (3.37), например, эта формула приводит к следующим уравнениям (рис. 3.8):

- (4-/22) JC( -)].



Таким образом, вектор Х* заменяется в памяти ЭВМ на Х' по мере вычисления его компонент.

Как следует из (3.132), спектр матрицы С сдвинут относительно спектра матрицы А на Я. Поэтому при Х=Х[ наименьшее собственное значение матрицы С равно нулю, а при Х>Х[ это значение становится отрицательным. Следовательно, при матрица С теряет знакоопределенность, что нарушает сходимость ПВР [147]. Таким образом, этот метод можно использовать только для нахождения одного (наименьшего) собственного значения задачи

(3.132). Это утверждение справедливо, очевидно, и для степенных методов.

Собственное значение kq{q>l) будет наименьшим для задачи (3.132), если искать ее решение в подпространстве векторов, ортогональных к собственным векторам Xi, Х2, X-j. Таким образом, если в итерационном процессе предусмотреть ортогонализацию искомого вектора Х' к векторам Xi, X-i, например, с помощью формулы Грама-Шмидта [95]

XWX* )-2 (Х„,ВХ( ))/(ХИ BXW), (3.147)

где Х^ - приближенное решение задачи, получаемое на п-м шаге, то итерационный процесс (3.140) или (3.143) сходится к собственному вектору Х^. Такая ортогонализация должна проводиться через каждые несколько шагов итерационного процесса. Поскольку в используемую формулу (3.147) входят собственные векторы Хь Хд-1, для вычисления 9-го собственного вектора и соответствующего ему собственного числа необходимо предварительно решить задачу (3.132) для q=l, 2, 9-1, каждый раз запоминая результат решения. Это обстоятельство несколько снижает достоинства метода ортогонализации.

Другой способ вычисления высших собственных чисел и векторов [120] основан на введении матрицы Т) = СС и замене задачи (3.129) уравнением

DX=0. (3.148)

Так как det D = det С^ det С= (del С) матрица D имеет те же собственные значения, что н С (по модулю). Кроме того, матрица D всегда симметрична и положительно определена для всех kki-Поэтому применение метода ПВР к решению задачи (3.148) обеспечивает сходимость Х' к собственному вектору, соответствующему тому собственному числу Xq (включая и высшие собственные числа), к которому оказывается ближе всего начальное значение l}fi). Так как матрица С имеет очень высокий порядок (Л'= (5- 10) 10), непосредствениое вычисление D невозможно. В связи с эти.м необходимо применять специальные способы вычисления коэффициентов этой матрицы, учитывающие разряженность матрицы С. Описанный алгоритм использован в программе расчета высших типов волн в волноводах произвольного сечения методом конечных разностей [120]. Начальные значения Х<°, Х' находятся с помощью грубой сетки (--бО узлов) прямым методом. В работе отмечается, что для успешного решения задачи необходимо задавать



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82