Главная  Резонаторные замедляющие системы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

хорошие начальные приближения собственного числа и собственного вектора.

В последнее время для решения частичной проблемы собственных значений широко используется метод итераций в подпространстве [118], позволяющий одновременно вычислять несколько первых собственных чисел и векторов, в том числе и вырожденных. Одновременно получаются оценки и для нескольких следующих собственных чисел.

Итерационный процесс решения задачи (3.132) начинается с произвольной (начальной) матрицы Р' * размерности NxM, где jW=min(2p, P+S); р-число собственных чисел и векторов, которые требуется найти. Столбцами матрицы Р*** служат начальные приближения собственных векторов Х*, *, Х^ ,Х]. На первом шаге с помощью соотношения AS* = ВР * находится матрица S* . Это соотношение эквивалентно М системам линейных алгебраических уравнений, каждая из которых позволяет определить

один столбец матрицы Решение систем можно проводить, например, методом ПВР. Далее вычисляются две матрицы размерности МХМ: T< +=S< AS(; R + .-=S( )BS( -h решается обобщенная задача на собственные значения размерности М; T( +i)Q( + i) = R( +)Q(>+i)A( +i) где А(+ -диагональная матрица, элементы которой есть приближенные значения собственных чисел задачи (3.132). Для решения этой задачи ввиду ее небольшой размерности целесообразно использовать прямые методы [23]. Наконец, находится следующее приближение собственных векторов p( +4=S Q< , после чего итерационный цикл повторяется до выполнения условия (3.142), где в качестве л' берется р-й э.пемент матрицы А* -*. При этом все собственные числа, меньшие Х' , находятся с погрешностью <г-, а оставшиеся элементы

матрицы соответствуют большим, чем Л' , собственным числам задачи (3.132), погрешность вычисления которых, однако, не может быть оценена. Наряду с достоинствами метод имеет и недостатки, связанные с относительной сложностью алгоритма и повышенными требованиями к памяти ЭВМ. Описанный алгоритм использован в программах расчета регулярных волноводов и аксиально-симметричных резонаторов [23, 82].

3.9. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ

Интенсивное развитие численных методов расчета электродинамических систем началось с середины 60-х годов, когда появились первые универсальные программы расчета регулярных волноводов и аксиально-симметричных резонаторов. Накопленный с этого момента опыт позволяет сформулировать критерии, степень соответствия которым определяет пригодность метода для решения того или иного класса задач. К этим критериям относятся [125J:



1. Форма области, в которой рассчитывается электромагнитное поле, в частности может ли она быть невыпуклой, многосвязной, иметь криволинейную границу.

2. Возможность расчета высших видов колебаний (типов волн).

3. Зависимость времени решения от требуемой точности и практически достижимая точность решения.

4. Удобство реализации в вычислительной программе, т. е. пригодность для решения широкого класса задач и разумные затраты времени и средств на разработку и сопровождение программы.

Поскольку перечисленные требования во многом противоречивы, метода, наилучшего для решения большинства встречающихся на практике задач, по-видимому, не существует. Этим, наряду с другими причинами, объясняются разнообразие используемых численных методов и многочисленность созданных на их основе вычислительных программ. Сравнение основных характеристик этих программ позволяет сделать определенные выводы об области применимости того или иного метода. Ценная попытка такого сравнения сделана в обзоре [140], где сведены в таблицу данные о зарубежных программах расчета полей в регулярных волноводах. Ниже приводится эта интересная таблица для описанных в настоящей главе методов, дополненная появившимися в последние годы отечественными и зарубежными универсальными (пригодными для расчета полей в двумерных областях произвольной формы) программами, по которым опубликована необходимая для сравнения информация (табл. 3.1).

Из таблицы видно, что процесс развития численных методов решения внутренних краевых задач электродинамики можно разделить на два периода. Первый (1965-1972 гг.) характеризуется применением различных численных методов, причем в начале большое внимание уделялось методам коллокаций и конечных разностей. (Отметим, что одними из первых в 1966 г. появились универсальные программы расчета регулярных волноводов [126] и аксиально-симметричных резонаторов [ПО], использующие метод конечных разностей.) Несколько позже появились программы, реализующие вариационные методы, а также методы интегральных уравнений и конечных элементов. Эксплуатация этих программ позволила оценить их достоинства и недостатки, сосредоточить усилия исследователей на полной реа-



Основные характеристики универсальных электромагнитных полей свободных волн и аксиально-симметричных

Численный метод

Название программы, источник

Год опубликования

Свойства и порядок N матрицы, необходимые для расчета с погрешностью не более 0,1°/

Mejox решения матричного уравнения

МКР

LALA [ПО] PDSORI120)

1141]

[61]

EXTEL [34] ЕДИП [23] [63]

AZIiMUTH [32]

GNOM [13]

EHP0L[12I, 122]

ВАРАКС (§ 3.3)

1966 1968

1969

1975

1978

1980

1980

1981

1982

1969, 1970

1972

Редкая, iV = 5000- 15 000

Редкая, iV=5000- 20 ООО

Редкая, iV = 5000- 10 000

Редкая, jV=5000- 10 000

Редкая, jV = 5000- 8000

Редкая, jV = 5000- 15 000

Редкая, TV = 5000- 10 ООО

ПВР

Редкая, jV=5000-20 000

Редкая, jV = 5000-50 ООО

Плотная, Л' = 30-40 Плотная, yv=30-40

Итерации в под пространстве

ПВР

ПВР, степенной со сдвигом спектра

Ускоренный метод Лнбмана с элементами верхней релаксации [65]

Прямой

Таблица 3.1

программ расчета двумерных и колебаний в полых волноводах резонаторах

Форма обтасти, число р собственных значений для Е- и (или) /У-колебаний (воли)

Требуемая память ЭВМ

Время решения на один тип (вид)

волн (колебаний), для тест-задач, тип ЭВМ

Примечание

Произвольный резонатор; /7=1 (Е)

Произвольный волновод; /7=6 низших (£. Н)

Произвольный волновод. р = 3 низших (£, Н)

Произвольный волновод и резонатор; Р=1 (Е, Н)

Произвольный волновод U резонатор; р=1 (Е, Н)

Произвольный волновод и резонатор; Р=1 (Е. Н)

Произвольный резонатор; р = 3 (Е)

Произвольный резонатор; /7= 10 низших (Е, Н)

Пропзвольный резонатор; р - любое (£, Н)

Произвольный волновод; р=10 низших (Е, Н)

Произвольный резонатор; р=\ (Е)

140-220 Кбайт

9000 машинных слов

29 ООО машинных

ЭО Кбайт

70 Кбайт

8000 слов

15-20 мин'

5-8 мин, IBM

360/65

I мин, IBM 7094

БЭСМ-6

1,5 мин, БЭСМ-6

5 мин, БЭСМ-б

1 мин. БЭСМ-6

15-20 с, ЕС-1052

70 с, IBM 360/65

4 мин, Мпнск-22

1 ч на БЭСМ-6

Преобразование D = CC (§ 3.8)

Ортогонализация (§ 3.8)

Кусочно - неоднородное заполнение [62]

Анализ допусков (§ 4.3), оптимизация (§ 6.6)

Учет особенностей (§ 3.2), прямоугольная сетка

Азимутально - неоднородные виды колебаний; метод исчерпывания [10] для высших видов колебаний

Ортогонализация (§ 3.8), азимутально - неоднородные виды колебаний (§ 5.1)

Слабая сходимость для невыпуклых областей

Вспомогательный базис



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82