функций с = 0,5 - колебаниям вида Ео .2p-t-\,p = 0, I, 2,... Отметим исключительно малую погрешность расчета даже при использовании неподходящей системы функций (предпоследний столбец табл. 3.4).

На рис. 3.23 показана зависимость погрешности расчета критического волнового числа методами конечных разностей и конечных элементов от шага сетки [142]. В МКЭ использовались элементы первого порядка на регулярной треугольной сетке. Повышенная погрешность МКЭ на сетках с больи[им шагом объясняется меньшим по сравнению с МКР порядком интерполяции поля между узлами (первым \ МКЭ и вторым у МКР)-На сетках с малым шагом погрешности обоих методов практически одинаковы.

0,00f 0,001 0,003 /7

Рис. 3.23 Зависимость погрешности расчета собственных значений от шага сетки по МКР (PDSOR) и МКЭ (IFEM)

Рис. 3.24. Зависимость погрешности расчета kc волны Яз1 в прямоугольном волноводе для различных значений порядка полинома Т

Р. Сильвестр [143] исследовал скорость сходимости МКЭ при различных комбинациях порядка полиномов Т в различных элементах и числа элементов Р. Численные результаты приводятся только для волны Я31 в прямоугольном волноводе (рис. 3.24), из которых можно сделать вывод о том, что для простых областей лучше выбирать наименьшее число элементов и наибольший порядок полинома в них. Однако для практических задач оптимальное соотношение между Т и Р заранее установить трудно - для этого требуется немалый опыт. Этот последний вывод подтверждается данными А. Конрада [133], который при различных вариантах триангуляции получал системы уравнений порядка 77, 104, 113. Рассчитывался резонатор типа омега -структ\ ры 122

(см. рис. 1.10) (детально исследованный X. Хойтом [110J), для более точного описания формы которого использовалась нерегулярная треугольная сетка, сгущаемая вблизи криволинейных границ, где 7=1. Во внутренних элементах большой площади порядок полинома выбирался равным 3. Расхождение с данными X. Хойта уменьшалось соогветственно с 0,93 до 0,55 и 0,40%. В этой работе указывается также, что погрешность расчета основных волновых чисел цилиндрического и коаксиального резонаторов в сравнении с аналитическими решениями при двух элементах с полиномами очень высокого порядка составляет 0,1% и меньше .

В рассмотренных выше примерах погрешность численных расчетов оценивалась в сравнении с аналитическими решениями, известными для анализируемых областей простой формы. Не менее важное значение для оценки возможностей метода имеют результаты расчета областей сложной формы, однако отсутствие аналитических решений для этих случаев затрудняет оценку погрешности расчета. В табл. 3.5, 3.6 представлены результаты расчета критических волновых чисел различных типов волн в П-образном волноводе с соотношением размеров а : b : с : d = 2 : 4 :2 : I (рис. 3.25), полученные с помощью разных программ.

Таблица 3.5

Расчетные значения критических волновых чисел основных типов волн П-образного волновода

Таблица 3.6

Расчетные значения критических волновых чисел Ас а высших типов волн П-образного волновода

Погрешности расчета основного вида колебаний тороидального резонатора методами конечных элементов и конечных разностей приведены в табл. 3.7. Указано

также число итераций п на каждой сетке. Результаты расчета этого же резонатора вариационным методом на вспомогательном базисе (программа ВАРАКС) показаны на рис. 3.26 и 3.27 (использовались 40 базисных функций с ь=1).

Погрешности оценивались в сравнении с результатами эксперимента. Отметим, что погрешность расчета собственных частот по программе ВАРАКС имеет тот же порядок, что и погрешность расчета постоянной распространения в П-образном волноводе по программе В. Г. Феоктистова [75], также реализующей вариационный метод на вспомогательном базисе.

Р и с. 3.25 Поперечное сечение П-обра.чнсго волновода

2 s,e i/H

Р н с. 3.26. Зависимость расчетных значений собственной длины волны (/) и волнового сопротивления (2) тороидального резонатора от числа базисных функций

Таблица 3.7

Результаты расчета основного вида колебаний тороидального резонатора методами конечных разностей и конечных элементов

Рис. 3.27. Зависимость погрешности расчета собственной длины волны тороидального резонатора от зазора