Пусть некоторое изделие характеризуется совокупностью входных параметров (размеров) л;, k=l, ... т, выходным (рабочим) параметром у и пусть известна зависимость

y = f{xuX2,-.-,Xk,...,xJ. (4.21)

Разложим (4.21) в ряд Тейлора вокруг точки, соответствующей номинальным значениям параметров лгю.

ЛГ20, Х/о, XQ.

y = y,+ i(,-x,o) + ...+ дХу

) (4.22)

Полагая отклонения входных параметров от номинальных значений tx = х^ - х^д независимыми и малыми, дх <С х^о, ограничимся в разложении (4.22) линейными членами. Тогда отклонение выходного параметра от его номинального значения Уо = у{х1о, Х20,лго, -...-то)

т

ду = у у„= 25УДх„ (4.23)

где Sl = (df;dXf)Q-функция чувствительности параметра у к отклонению параметра х^. Для перехода к относительным величинам поделим (4.23) на (4.21):

т

= К1-. (4.24)

У tfx X,

Здесь Kl - коэффициент влияния. Величины Slx и 1 ki-k называются частными отклонениями входных параметров. Предполагается, что отклонение )Дх < Oj, где - поле допуска параметра х^. Отклонение в пределах поля допуска б^, как правило, является случайным и может быть описано различными законами распределения - равномерным, по Гауссу ц т. д. В связи с этим для оценки отклонения Аг/ обычно пользуются среднеквадратическим законом сложения частных отклонений. Можно показать [25], что в случае равномерного распределения Ах выражения для среднеквадратического абсолютного и относительного отклонений параметра у имеют вид соответственно:

(ДУ)=1/ 2W(W; (4.25)

(ДУ/У)=1/ у (AP(S*)V34- (4.26)

Таким образом, для решения задач анализа (расчет Ау по заданным б;) и синтеза допусков (расчет 6; по заданному допустимому Ду) необходимо знать функции чувствительности (коэффициенты влияния). Рассмотрим методы вычисления этих функций для аксиально-симметричного резонатора, предположив, что отклонения размеров от номинальных значений не изменяют его симметрии.

Метод малых возмущений. Погрешность изготовления резонатора можно рассматривать как возмущение его формы и (или) размеров. Полагая это возмущение малым, воспользуемся теоремой возмущения Слэтера, которая позволяет получить соотношение

- = 1 iVW-\mdV (4.27)

с о 41Г iv

между изменением собственной частоты Дсо и положением, формой и материалом возмущающего тела. В этом соотношении соо- невозмущенная собственная частота резонатора; W - энергия, запасенная в резонаторе. Интегрирование ведется по объему возмущающего тела ДУ, формой которого определяется коэффициент А. В частности, если при ДУ->0 электромагнитное поле резонатора Е, Н стремится к невозмущенному состоянию Ео, Но, то /4 = 1. В рассматриваемом случае под AV следует понимать изменение объема резонатора за счет отклонения какого-либо его размера наЛ. :. Полагая зависимость (й=/(Дд;д.) линейной, всегда можно считать, что отклонение размера приводит к уменьшению объема резонатора. В этом случае в (4.27) можно положить р.= [1о, е=ео, EssEq, Н Но. Учитывая аксиальную симметрию задачи и выражение (3.21), соотношение (4.27) записываем в виде

- .....,-. 0.28)

где D - возмз^ценное меридиональное сечение резонатора; до= d\-область, ограниченная невозмущенной и возмущенной образующими резонатора и определяемая изменением размера AXj.

Из (4.28) следует, что для расчета отклонения До> и последующего определения функции чувствительности 5 =:Дсо/Дх необходимо вычислить интегралы по

малой области А/), прилегающей к образующей резонатора. Эту задачу следует признать трудной для численных методов ввиду невысокой точности рещения (и особенно его производных) вблизи границы. К недостаткам этого метода относится т^кже то, что теорема возмущений непосредственно^ не устанавливает^ связ11 между H3NieHeHHeM объема резонатора й отклонением других его,рабочих параметров .

Метод конечных приращений. Зависимость y=f{x) может быть найдена в результате численного эксперимента. Пример такой зависимости приведен на рис. 4.1, где, в частности, (/ = Я, (или у = р), x = d. Метод предполагает замену производной 5У = у/дх конечной разностью. Для получения достаточной точности вычислений целесообразно использовать центральную разность (3.29)

ЗУ = (1/2А) [у (х + Л) - у (х,о - h)], (4.29)

причем /1>б^. Заметим, однако, что рабочие параметры У (X/io), У {Х/а ± Л) и т. д. вычисляются с определенной погрещностью Д, от которой, как и от выбранного интервала xQ±.h, существенно зависит погрещность вычисления S\. Ниже показано, что существует определенное значение /lopt. при котором погрешность расчета функции чувствительности минимальна.

Аппроксимируем y=f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа [6] (в дальнейщем индекс k для упрощения записи опустим):

з'М = 2>П--f+П(---Л (4.30)

где Уг ~ У (-х) -фиксированные значения, совпадающие с y=f{x) в узлах интерполяции х,-, i=l, 2, п. Второе слагаемое в (4.30) представляет остаточный член, где (/< () - п-я производная в точке e[xi, xJ.