, dv ди\ kr--+m - dz дг j

sin Д 1 cos r

COS Д

E =J-!li-/

, dv

kr--h m

dv\ dz du dz

sin sin cos

где R=r-{mlk). Используя эти соотношения, легко получить граничные условия, которым должны удовлетворять функции ы и о:

г; = 0; ди1дп--0 на L; va=dvjdr=dajdr=Q,r=0. (5.4)

Таким образом, в отличие от [21], все составляющие электромагнитного поля выражаются через первые производные функций ы и о, а граничные условия для этих функций разделены и имеют наиболее простой вид.

Особенностью уравнений (5.3) и выражений для поля является сингулярность коэффициентов на линии г = = m/fe. Так как все составляющие поля на этой линии должны быть конечными, функции ы и у на ней должны удовлетворять условиям

ди dv Q

ди dv

= 0.

(5.5)

Уравнения (5.3) можно записать в виде обобщенной задачи на собственные значения

где

(5.6)

о

о

матричные оператор и весовая функция; Х=ы, - векторная функция; l = ~k;

+

dz д

kRi dz

Определив на множестве векторных функций, принадлежащих области определения оператора *А скалярное произведение и норму

(и. v) = С -f uvl) dD; 11 и II = (и, ау\\ (5.7) Ъ

где u=\UiU2\, v=\viV2\, и вычислив и 1Ми II,

можно показать, что оператор Л является самосопряженным и знаконеопределенным. Важными особенностями оператора >Л, затрудняющими решение уравнения (5.6), являются его зависимость от собственного значения и сингулярность коэффициентов на линии г = = mlk, всегда пересекающей область D. Эти особенности делают задачу нахождения собственных значений нелинейной.

Уравнения (5.3) использованы для построения алгоритмов расчета азимутально-неоднородных полей в [28] и [39]. В первой из работ приводятся результаты расчета критических частот и электромагнитных полей различных видов волн в круглом волноводе {д/дг=0). Поскольку для этой задачи известны аналитические решения, она решалась в качестве тестовой. Дискретизация уравнений (5.3) производится методом конечных элементов с применением в качестве базисных функций полиномов первого порядка, за исключением элементов, примыкающих к оси волновода (г=0) и содержащих линию r = mlk, где вводятся полиномы второго порядка, удовлетворяющие условиям (5.4) и (5.5). Так как метод последовательной верхней релаксации ввиду знаконе-определенности оператора Л неприменим, собственные числа матричной задачи, полученной в результате дискретизации, находятся как корни уравнения det( - - Щ)=0, а собственные векторы - вычеркиванием строки и столбца исходной матрицы с последующим решением полученной системы уравнений методом исключения Гаусса. При равномерном разбиении радиуса волновода на 13 элементов погрешность вычисления критических частот составляет от -0,5% для азимутально-однородных типов волн Ь о1 и Яо1 до -1,5% для типов волн с двумя вариациями по азимуту £22 и Я22. Погрешность вычисления поля для этих типов волн составляет 3-5%. Необходимо отметить, что ввиду нелинейности задачи на собственные значения наряду с корнями определителя, соответствующими критическим ча-

стотам различных типов волн в волноводе, в процессе решения получались и лишние корни, не имеющие физического смысла.

В [39] описан универсальный алгоритм расчета ази-мутально-неоднородных видов колебаний в АСР, основанный на решении системы уравнений (5.3). Их дискретизация методом Уинслоу (см. § 3.4) приводит к системе 2Л/-линейных алгебраических уравнений

i< (5.8)

2 (- bijUj + a.jVj) = r-<fWudL, /=1,2,Л^, /-I ( )

где

tp(<-)cp(/)---- (v<p< VT<)

N - число треугольных элементов, на которые разбивается область D; !> -контур элемента Z) ; Щ, v - значения искомых функций и, v в вершинах треугольников; ф< -базисные функции, определенные внутри элемента

Так как коэффициенты уравнений (5.8) имеют особенности на линии kr = m, область D разбивается на две подобласти kr< m, kr>m и триангуляция производится отдельно для каждой подобласти. При вычислении матричных коэффициентов узлы, лежащие на линии kr = m, разносятся на малое расстояние в=±10~ от этой линии. Значения неизвестных функций в этих узлах приравниваются, что обеспечивает приближенное выполнение условий (5.5).

Решение матричной задачи на собственные значения производится прямым методом, аналогичным использованному в программе SUPEiRFISH (см. § 3.4). Для некоторого значения k строится согласованная с к триангуляция. В одном из узлов полагается ы„ = 1 (либо ti = = 1), и методом исключения Гаусса вычисляются значения функций и V. V в остальных узлах. Затем из уравнения (5.8) находится значение ы„{к) и определяется