Главная  Резонаторные замедляющие системы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [ 52 ] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

L, где - орт касательной к образующей оболочки АСР. Из первого условия и формулы (5.16)

(?Ф/(?г = 0 на L. (5.21)

Второе условие можно записать в виде £cosa + + s{na = 0. Подставив (5.15) и (5.17) в это выражение, получим

dVjdti = ± тг-Ф cos а. (5.22)

Так как напряженности электрического и магнитно-J0 полей должны быть конечны всюду в объеме резонатора (за исключением, быть может, окрестностей острых ребер), из выражений (5.15) - (5.20) следует, что на оси резонатора должны выполняться условия

Ф = дг = 0: (?Ф/(?г = (?5/(?г = 0. (5.23)

Если резонатор имеет плоскость симметрии 2 = const, она в зависимости от типа симметрии поля служит электрической или магнитной стенкой. В последнем случае на плоскости симметрии = 0; Я, = М = 0. Использовав эти условия, из (5.17) получим dWldr= = ±тФ/г. Подставив это равенство в (5.18) и (5.19) и приравняв полученные выражения нулю, найдем гранич- ые условия для функций W и Ф:

= 0; W= +

kr - m дг

При т = 0, т. е. при отсутствии вариаций поля по азимуту, уравнения (5.14), выражения для поля (5.15) -(5.20) и граничные условия (5.21) -(5.24) рас-ладаются на две независимые группы, описывающие Е-и Я-виды азимутально-однородных колебаний в АСР (§ 3.1).

Систему (5.14) можно записать в операторном виде J5S=i@H, (5.25)

тде

55 =

Г- 0

0 г-1

тиатричные оператор и весовая функция; Е = ]Ч^Ф| - зекторная функция; Я = -k;

1 д

дг \ г дг j

dz 2т

1 д \

\ г dz



Введем на множестве функций, принадлежащих области определения оператора 2Й, скалярное произведение и норму (5.7) и вычислим коммутатор оператора 36:

= (и, Slv) - {и, = ] u{v\dD +

D D D

- J v]UtdD - J vXudD - j v\XydD -

D D D

~-v;,U2dD.

Используя формулу (П1.17), можно показать, что 1 / dv* дщ \

дп 2

dL + dL.

Преобразуем выражения в скобках с учетом граничных: условий (5.21) и (5.22):

dv* ди, пг

- V,

дп дп

- ± {U{vl - v\a-cos а;

dvl дп

dv\ дщ dui dvl \

dn дп

дп дп

mcosa.

Ввиду того что функции и а V удовлетворяют одинаковым условиям на контуре L, правые части полученных, выражений равны нулю, что доказывает самосопряженность матричного оператора Чб. В то же время из. выражения для скалярного произведения

(2би, м) = - j (I v . Р + I V 2 Р) dD ~

-m=tr-(a,4- iP)<iD +

dL +

2m Г-* (и, * + й^Иг) dD



следует, что при тФО оно может иметь любой знак и, следовательно, оператор 3S не является знакоопределенным. Это обстоятельство создает определенные трудности при построении численных методов решения задачи на собственные значения (5.25).

Уравнения (5.14) симметричны относительно функций W и Ф. Введя функцию

+ (5.26)

их можно привести к виду:

г

г

dQ ,

fe2 -

/ 2 \

Г

Ф=:2; (5.27)

2=0. (5.28)

При подстановке (5.26) в (5.15) - (5.20) получим:

1Ш[х

д

т

1 г

1Ш[х

г

т

(?2ф

f Й2Ф -

г dQ \

2 dr

1 (?Q

где гармоническая зависимость составляющих поля от азимута для краткости опущена.

Так как на образующей резонатора дФ1дг = 0, граничное условие для функции О. имеет вид dQIdn - = 2кЧЧ\па. На оси резонатора Q = dQldr = 0.

Использование системы уравнений (5.27), (5.28) вместо системы (5.14) в ряде случаев предпочтительнее, так как уравнение (5.28) содержит только одну функцию Q. Если, как часто бывает на практике, образующая резонатора состоит из отрезков прямых r = const и 2 = const, граничные условия для функций Ф и й разделяются. Действительно, на прямых 2 = const sina = 0.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [ 52 ] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82