|
Главная Теоретические основы радиотехнологии 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 в виде (2.29), требования 1-5 выполняются, если мнимую часть комплексного сигнала Z(t) определяют, используя соотношение Рис. 2.13. Преобразование Гильберта л t-t (2.36) которое называется преобразованием Гильберта. Нетрудно видеть, что соотношение (2.36) можно трактовать как свертку сигнала u(t) и функции -, а результат преобразования Гильберта (2.36) - как nt реакцию цепи с импульсной характеристикой - (рис. 2.13) при подаче на ее вход сигнала u(t) (о линейных цепях и их характеристиках речь пойдет в гл. 4). На рис. 2.14 показан график h(l) = - . Очевидно, что четырехполюсник с такой импульсной характеристикой физически нереализуем, так как h{t) ф О при t < 0. Тем не менее, формально найдем комплексный коэффициент передачи такого четырехполюсника: К{а) = - е Jdt = ---dt- J- -- dt = nt n t n t -co -00 -00 = yl]Mnrf (2.37) n t так как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Интеграл (2.37) принимает следующие значения: - 71, (о < О, 1 г costor 1 г Sincor
7 sinio? . Рис. 2.14. Импульсная характеристика, соответствующая преобразованию Гильберта следовательно, к{а) = О, (0 = 0, 71, со > О, у, со < о, о, со = о, J, ю > 0. (2.38) Графики амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик показаны на рис. 2.15. Пример. Найдем функцию, сопряженную по Гильберту с гармоническим колебанием ii{t) = и cos (coq/ + Фо): u{t) = исо8(соо^-1-фо - = и5ш(соо/-1-Фо)
Как видно, преобразование Гильберта обес- печивает необходимый выбор мнимой части р,, 2 15 дчх (с) и комплексного сигнала для гармонического u{t) фчх (б) цепи, осуще- (см. требование 4 к функциям огибающей и ствляюшей преобразо- полной фазы ранее в этом параграфе). Опера- Гильберта ция (2.38) сдвигает все гармонические составляющие сигнала по фазе на +я/2 и уничтожает постоянную составляющую сигнала. Вводят обратное преобразование Гильберта u{t) = n-m] = --]dt\ л t-t (2.39) которое является сверткой сигнала 17(/) и импульсной реакции m = -- = K-t). (2.40) Комплексный коэффициент передачи, соответствующий четырехполюснику с импульсной реакцией (2.40), есть функция -У, ю<0, О, ш = 0, у, со>0. Свойства преобразования Гильберта. 1. Прямое и обратное преобразования Гильберта линейны, в чем можно убедиться непосредственно: Н[/7ы,(0 + quiit)] = рЩит + №2(0] - 2. Ядро преобразования Гильберта 1/(7г0 есть нечетная функция, поэтому сигнал, сопряженный по Гильберту с постоянным во времени сигналом, тождественно равен 0. 3. Если при каком-либо значении t сигнал u{t) достигает экстремума, то в окрестности этого значения t сигнал u{t) проходит через О (простейшей иллюстрацией этого положения является рассмотренный пример преобразования по Гильберту гармонического сигнала). Аналогичное преобразование функции V sin {щ1 + фо): щи sin (coq/ + Фо)} = -U cos (юо/ + Фо). Аналитический сигнал. Комплексный сигнал (2.30) Z{t), сформированный для вешественного сигнала н(/) с помошью преобразования Гильберта, называется аналитическим сигналом. Для него справедливы соотношения (2.31), (2.32) и (2.33). Смысл термина аналитический состоит в том, что при замене аргумента t на аргумент 4 +УЛ. т- е. при переходе к комплексной переменной, сигнал ( + Ул) как функция комплексной переменной оказывается функцией аналитической (при всех т] > 0) [3]. Мгновенная частота ю(0 при вычислении по формуле (2.33) представляется в виде со(0 = юо + Ф(0, где ф(0 не содержит слагаемого типа Аю/, линейно зависящего от времени. Тем самым произвол в выборе несущей частоты устраняется. Замечание 1 Комплексное представление гармонического сигнала и cos (юо/ + Фо), сформированное с помощью преобразования Гильберта, совпадает с его представлением в рамках метода комплексных амплитуд. Сформулируем важное правило: при произвольных U{f) и ф(0 комплексный сигнал вида м(0 = U{t)e совпадает с аналитическим (сформированным по Гильберту) с тем большей точностью, чем более этот сигнал узкополосен. В случае предельно узкополосного (гармонического) сигнала имеет место полное совпадение. Замечание 2 Произвольный комплексный сигнал Z{t), сформированный по Гильберту, аполитичен вне зависимости от своей ши-рокополосности. 76 Спектральная функция аналитического сигнала. Пусть сигналу u{t) соответствует преобразование Фурье 5(ю). Для определенности положим 5(0) = О и воспользуемся результатами (2.38). Тогда при ю > О 5(ю) = -jS{i£>); при ю < О (ю) = У5(ю). В силу линейности преобразования Фурье 5(ю) = 5(ю) + jS{a) и 57(ю) = Siio) + K-J)S{(u) = 25(ю), ю > О, 5(ю) + / у5(ю) = 0, ю < 0. Спектральная функция аналитического сигнала существует (отлична от нуля) только на положительных частотах. Возможный вид графиков 5(ю) и показан на рис. 2.16. Будем искать спектральную функцию комплексной огибающей аналитического сигнала Z(0 . Так как Z(0 = Z(0, Z(0 = Z(Oe->o, спектральная функция Z{t) (ю)= ]z{t)e-J<>e-Jdt= Jz(Oe-< * Л = 5 z(ю + юo). -00 -00 Возможный вид модулей спектральных функций Sy (ю) и5(ю) показан на рис. 2.17. Особо следует отметить, что модуль -0)0 О о Рис. 2.16. Спектр вещественного сигнала (о) и соответствующего ему аналитического сигнала (б) о б Рис. 2.17. Спектры аналитического сигнала (о) и его комплексной огибающей (б) 6. По каким приближенным формулам можно определить ширину спектра колебания с гармонической угловой модуляцией в случаях (3 1 и р 1? 7. Чем отличаются спектральные и векторные диаграммы AM- и ЧМ-колебаний при малой глубине модуляции? 8. Как связаны спектры видео- и радиосигналов при импульсной AM? 9. Запишите выражение для комплексной огибающей ЛЧМ-сигнала. 10. Запишите выражения, соответствующие прямому и обратному преобразованиям Гильберта. Дайте им абстрактную схемотехническую трактовку. спектральной функции (ю) не обязательно симметричен относи- тельно оси со = 0. Если 5(со) несимметричен относительно со = wq, что характерно для сигналов со смешанной амплитудно-угловой моду- ляцией, то и несимметричен относительно со = 0. Во всяком случае, спектральная функция Sy (со) отлична от нуля в области отрицательных частот. Следовательно, комплексная огибающая аналитического сигнала' аналитической функцией не является. Вещественная и мнимая части Z(0 не сопряжены по Гильберту. Введение аналитического сигнала в круг методов теоретической радиотехники связано с рядом преимуществ, предоставляемых такой формой записи сигналов при теоретических исследованиях. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Как формируется спектр АМ-колебания при модуляции: гармоническим колебанием, произвольным периодическим сигналом? 2. Какой вид имеет векторная диаграмма АМ-колебания при гармонической модуляции? 3. Запишите общее выражение для колебания с угловой модуляцией. Какими соотношениями связаны полная фаза и мгновенная частота колебания? 4. Как определяются и чем отличаются ЧМ- и ФМ-колебания? 5. Какой физический смысл имеют понятия девиация частоты Лео и индекс модуляции Р ? Как они определяются при гармонической фазовой и частотной модуляции? |