Главная  Теоретические основы радиотехнологии 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

в виде (2.29), требования 1-5 выполняются, если мнимую часть комплексного сигнала Z(t) определяют, используя соотношение

Рис. 2.13. Преобразование Гильберта

л t-t

(2.36)

которое называется преобразованием Гильберта. Нетрудно видеть, что соотношение (2.36) можно трактовать как свертку сигнала u(t)

и функции -, а результат преобразования Гильберта (2.36) - как nt

реакцию цепи с импульсной характеристикой - (рис. 2.13) при

подаче на ее вход сигнала u(t) (о линейных цепях и их характеристиках речь пойдет в гл. 4).

На рис. 2.14 показан график h(l) = - . Очевидно, что

четырехполюсник с такой импульсной характеристикой физически нереализуем, так как h{t) ф О при t < 0.

Тем не менее, формально найдем комплексный коэффициент передачи такого четырехполюсника:

К{а) = - е Jdt = ---dt- J- -- dt =

nt n t n t

-co -00 -00

= yl]Mnrf (2.37)

n t

так как интеграл от нечетной функции в симметричных

пределах равен нулю. Интеграл (2.37) принимает следующие значения:

- 71, (о < О,

1 г costor

1 г Sincor

/1(0

7 sinio? .

Рис. 2.14. Импульсная характеристика, соответствующая преобразованию Гильберта

следовательно,

к{а) =

О, (0 = 0,

71, со > О,

у, со < о, о, со = о, J, ю > 0.

(2.38)

Графики амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик показаны на рис. 2.15.

Пример. Найдем функцию, сопряженную по Гильберту с гармоническим колебанием ii{t) = и cos (coq/ + Фо):

u{t) = исо8(соо^-1-фо - = и5ш(соо/-1-Фо)

IW[/w)I

ч

-71/2

Как видно, преобразование Гильберта обес-

печивает необходимый выбор мнимой части р,, 2 15 дчх (с) и

комплексного сигнала для гармонического u{t) фчх (б) цепи, осуще-

(см. требование 4 к функциям огибающей и ствляюшей преобразо-

полной фазы ранее в этом параграфе). Опера- Гильберта ция (2.38) сдвигает все гармонические составляющие сигнала по фазе на +я/2 и уничтожает постоянную составляющую сигнала.

Вводят обратное преобразование Гильберта

u{t) = n-m] = --]dt\

л t-t

(2.39)

которое является сверткой сигнала 17(/) и импульсной реакции

m = -- = K-t).

(2.40)

Комплексный коэффициент передачи, соответствующий четырехполюснику с импульсной реакцией (2.40), есть функция

-У, ю<0, О, ш = 0, у, со>0.

Свойства преобразования Гильберта.

1. Прямое и обратное преобразования Гильберта линейны, в чем можно убедиться непосредственно:

Н[/7ы,(0 + quiit)] = рЩит + №2(0] -

2. Ядро преобразования Гильберта 1/(7г0 есть нечетная функция, поэтому сигнал, сопряженный по Гильберту с постоянным во времени сигналом, тождественно равен 0.



3. Если при каком-либо значении t сигнал u{t) достигает экстремума, то в окрестности этого значения t сигнал u{t) проходит

через О (простейшей иллюстрацией этого положения является рассмотренный пример преобразования по Гильберту гармонического сигнала). Аналогичное преобразование функции V sin {щ1 + фо):

щи sin (coq/ + Фо)} = -U cos (юо/ + Фо).

Аналитический сигнал. Комплексный сигнал (2.30) Z{t), сформированный для вешественного сигнала н(/) с помошью преобразования Гильберта, называется аналитическим сигналом. Для него справедливы соотношения (2.31), (2.32) и (2.33). Смысл термина аналитический состоит в том, что при замене аргумента t на аргумент 4 +УЛ. т- е. при переходе к комплексной переменной, сигнал ( + Ул) как функция комплексной переменной оказывается функцией аналитической (при всех т] > 0) [3].

Мгновенная частота ю(0 при вычислении по формуле (2.33) представляется в виде

со(0 = юо + Ф(0,

где ф(0 не содержит слагаемого типа Аю/, линейно зависящего от времени. Тем самым произвол в выборе несущей частоты устраняется.

Замечание 1

Комплексное представление гармонического сигнала и cos (юо/ + Фо), сформированное с помощью преобразования Гильберта, совпадает с его представлением в рамках метода комплексных амплитуд.

Сформулируем важное правило: при произвольных U{f) и ф(0 комплексный сигнал вида

м(0 = U{t)e

совпадает с аналитическим (сформированным по Гильберту) с тем большей точностью, чем более этот сигнал узкополосен. В случае предельно узкополосного (гармонического) сигнала имеет место полное совпадение.

Замечание 2

Произвольный комплексный сигнал Z{t), сформированный по Гильберту, аполитичен вне зависимости от своей ши-рокополосности. 76

Спектральная функция аналитического сигнала. Пусть сигналу u{t) соответствует преобразование Фурье 5(ю). Для определенности

положим 5(0) = О и воспользуемся результатами (2.38). Тогда при ю > О 5(ю) = -jS{i£>); при ю < О (ю) = У5(ю). В силу линейности преобразования Фурье 5(ю) = 5(ю) + jS{a) и

57(ю) =

Siio) + K-J)S{(u) = 25(ю), ю > О, 5(ю) + / у5(ю) = 0, ю < 0.

Спектральная функция аналитического сигнала существует (отлична от нуля) только на положительных частотах. Возможный

вид графиков 5(ю) и показан на рис. 2.16.

Будем искать спектральную функцию комплексной огибающей аналитического сигнала Z(0 . Так как

Z(0 = Z(0, Z(0 = Z(Oe->o,

спектральная функция Z{t)

(ю)= ]z{t)e-J<>e-Jdt= Jz(Oe-< * Л = 5 z(ю + юo).

-00 -00

Возможный вид модулей спектральных функций Sy (ю) и5(ю) показан на рис. 2.17. Особо следует отметить, что модуль



-0)0

О о


Рис. 2.16. Спектр вещественного сигнала (о) и соответствующего ему аналитического сигнала (б)



о



б

Рис. 2.17. Спектры аналитического сигнала (о) и его комплексной огибающей (б)

6. По каким приближенным формулам можно определить ширину спектра колебания с гармонической угловой модуляцией в случаях (3 1 и р 1?

7. Чем отличаются спектральные и векторные диаграммы AM- и ЧМ-колебаний при малой глубине модуляции?

8. Как связаны спектры видео- и радиосигналов при импульсной AM?

9. Запишите выражение для комплексной огибающей ЛЧМ-сигнала.

10. Запишите выражения, соответствующие прямому и обратному преобразованиям Гильберта. Дайте им абстрактную схемотехническую трактовку.

спектральной функции (ю) не обязательно симметричен относи-

тельно оси со = 0. Если

5(со) несимметричен относительно со = wq,

что характерно для сигналов со смешанной амплитудно-угловой моду-

ляцией, то и

несимметричен относительно со = 0.

Во всяком случае, спектральная функция Sy (со) отлична от

нуля в области отрицательных частот. Следовательно, комплексная огибающая аналитического сигнала' аналитической функцией не

является. Вещественная и мнимая части Z(0 не сопряжены по Гильберту.

Введение аналитического сигнала в круг методов теоретической радиотехники связано с рядом преимуществ, предоставляемых такой формой записи сигналов при теоретических исследованиях.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как формируется спектр АМ-колебания при модуляции:

гармоническим колебанием,

произвольным периодическим сигналом?

2. Какой вид имеет векторная диаграмма АМ-колебания при гармонической модуляции?

3. Запишите общее выражение для колебания с угловой модуляцией. Какими соотношениями связаны полная фаза и мгновенная частота колебания?

4. Как определяются и чем отличаются ЧМ- и ФМ-колебания?

5. Какой физический смысл имеют понятия девиация частоты Лео и индекс модуляции Р ? Как они определяются при гармонической фазовой и частотной модуляции?



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51