дическим, то его реализация достаточной длины является типичным представителем статистического ансамбля. Согласно приведенным выше формулам по этой единственной реализации можно определить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию эргодического случайного процесса. На практике интегрирование выполняется, естественно, не в бесконечных пределах, а на конечном интервале Т, длина которого должна быть тем больше, чем выше требования к точности результатов измерения.

Пример 3. Проверим эргодичность гармонического процесса со случайной начальной фазой (стационарность такого процесса была проверена ранее). Его корреляционная функция (3.17) с ростом т не стремится к нулю, так что условие (3.18) не выполняется. Однако это лишь достаточное, но не необходимое условие, поэтому его невыполнение еще не означает неэргодичности процесса. Проверим эргодичность согласно определению, вьиислив усредненные по времени параметры:

J y4cos(coo/+ ф)Л = о =/И;(,

([x(o-/nxF) =

-71/ о 71/ о

а COS (coq/ + ф)Л =-= dx

-п/щ

{[x{t) - mx][x(t -1) - т^]) = ~ I со8(шо/ + ф)со8(шо(-т) + ф)Л =

7t/tOo

-7t/tuo

-со8(шот) = /г^(т).

Замечание 2

Тот факт, что реализации рассматриваемого процесса являются периодическими функциями, позволяет упростить вычисления, заменив усреднение по бесконечному (в пределе) гфомежутку времени усреднением по одному периоду, равному в данном случае 27i/coo.

Итак, параметры, вычисленные усреднением по времени, совпали с параметрами, полученными ранее путем статистического усреднения. Следовательно, гармонический случайный процесс со случайной начальной фазой является эргодическим.

Замечание 3

Здесь также следует отметить, что любой случайный процесс, реализации которого являются периодическими функциями, идентичными по форме и различающимися лишь начальной фазой , будет не только стационарным, но и эргодическим.

Нормальный случайный процесс. Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин очень удобен для анализа и часто встречается на практике, особенно он характерен для помех канала связи. Одномерная плотность вероятности стационарного нормального процесса определяется вьфажением

р(х) =

о

(х-тхУ

2а

(3.19)

где тх и - соответственно математическое ожидание и дисперсия процесса.

На рис. 3.6 приведен график плотности вероятности нормальной случайной величины, построенный согласно (3.19) при /и^ = О и = 1.

Широкое распространение нормального закона распределения в природе объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа равномощных статистически независимых случайных величин, имеющих произвольные плотности распределения вероятности, плотность распределения суммы стремится к нормальной. Это положение носит название центральной предельной теоремы.

Весьма полезным для математического анализа свойством нормального распределения является то, что из некоррелированности гауссовых случайных величин следует их статистическая независимость (о разнице между этими понятиями см. § 3.3).

Замечание 4

Следует обратить внимание на то, что данные о распределении вероятности не дают никаких сведений о поведении слу- Рис 3.6. Плотность вероятности случайной величины с нормальным чайного процесса во вре- распределением

мени. Для описания его временных характеристик необходимо использовать корреляционную функцию или привлечь для этого спектральные характеристики случайного процесса, которые рассматриваются в § 3.5.

3.5. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Каждая отдельно взятая реализация случайного процесса представляет собой детерминированную функцию, и к ней можно применить преобразование Фурье. При этом различные реализации будут, естественно, иметь различные спектры. Нас же интересуют статистически усредненные характеристики случайных процессов. Попытаемся найти среднее значение спектральной плотности случайного процесса (горизонтальной чертой здесь и далее обозначается операция статистического усреднения по ансамблю реализаций):

5(ш)= jxiOe-Jdt = lx(t)e-Jdt = j miOe-Jdt.

- 00 -00 -со

Как видно из формулы, усредненная спектральная плотность случайного процесса представляет собой спектр его детерминированной составляющей (математического ожидания). Для центрированных процессов mxit) = О и 5.(0)) = 0. Таким образом, усредненное значение спектральной плотности не несет никакой информации о флуктуационной, т. е. собственно случайной, составляющей случайного процесса. Это говорит о том, что фазы спектральных составляющих в различных реализациях процесса случайны и независимы.

Можно, однако, рассмотреть спектральную плотность мощности случайного процесса, поскольку мощность не зависит от соотношения фаз спектральных составляющих.

Рассмотрим центрированный случайный процесс и вьщелим из его ансамбля какую-либо реализацию x(i), офаничив ее длительность ко-

Т Т

печным интервалом времени f~ у' yl- Применив затем к этой реализации прямое преобразование Фурье, найдем ее спектральную плотность Xf (ш). Энергию Ej рассматриваемого отрезка реализации согласно равенству Парсеваля (1.56) можно вычислить как

Ет = J x{t)dt = \ Xjii)

-т/2 27i

d(u .

Разделив эту энергию на Т, получим среднюю мощность Pf реализации на данном временнсм интервале:

t\T/2 2п

Xrii)

da.

При увеличении длительности промежутка времени Т энергия отрезка реализации неофаниченно возрастает, а средняя мощность стремится к некоторому пределу. Совершив предельный переход Г-> со, получим

{x\t)) = где функция

Л'7(ш)

- J lim

Ж(ш)= lim

rfto = - f Ж(ш) , In

(3.20)

представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматриваемой реализации.

Замечание 1

Часто говорят спектральная плотность мощности или спектр мощности .

В общем случае спектральную плотность мощности Ж(ш) необходимо усреднить по множеству реализаций. Однако если ограничиться рассмотрением эргодических процессов, можно считать, что найденная по одной реализации (т. е. путем усреднения по времени) функция И^(ш) характеризует весь процесс в целом.

Так как мы рассматриваем центрированный эргодический стационарный случайный процесс, средняя мощность любой его реализации равна дисперсии процесса. Таким образом.

HV(a)da,

где Ж(со) - вещественная функция, не содержащая информации о фазах спектральных составляющих и не позволяющая восстановить отдельные реализации случайного процесса. Кроме того, из определения спектральной плотности (3.20) очевидно, что Ща) является неотрицательной и четной функцией частоты.

Замечание 2

Мы не приводим здесь примеров расчета спектра случайного процесса согласно приведенному определению, поскольку такого рода расчет редко необходим на практике. Как правило, вычисление спектра случайного процесса производится на основе его корреляционной функции с помощью теоремы Винера-Хинчина, речь о которой пойдет в следующем параграфе.

3.6. ТЕОРЕМА ВИНЕРА-ХИНЧИНА

Как распределение спектральной плотности мощности, так и вид корреляционной функции связаны со скоростью изменения случайного процесса во времени. Найдем связь между этими двумя характеристиками.

Как известно, корреляционная функция детерминированного сигнала связана преобразованием Фурье с его энергетическим спектром. Применим это свойство к отрезку реализации случайного процесса длительностью Т.

j x(t)x{t-x)dt=- I (со) e-ZVco.

-T/2 271

Разделим обе части этого равенства на 7 и устремим Т к бесконечности:

lim - J, x{t)x{t-x)dt- I lim

A7(co)

T-*a,T

-T/2

271 J 7-

eJda. (3.21)

Если считать рассматриваемый процесс эргодическим, то в левой части последнего равенства стоит корреляционная функция процесса, полученная путем усреднения по времени. В правой части под интегралом содержится выражение (3.20) для спектральной плотности мощности случайного процесса. С учетом этого

R(x) = - Ж(со)е-/ со.

Замечание 1

В случае неэргодического процесса к обеим частям равенства (3.21) необходимо дополнительно применить усреднение по ансамблю реализаций, что приведет к тому же самому результату.

Таким образом, корреляционная функция случайного процесса и его спектральная плотность мощности связаны друг с другом преобразованием Фурье. Это соотнощение носит название теоремы Винера-Хинчина.

Так как и Я(т), и Ж(со) являются четными вещественными функциями, можно отказаться от комплексной формы записи преобразования Фурье и перейти к полубесконечным пределам интегрирования:

/?(т) = -!-H/(co)cos(coT)cfco,

И/(со) = 2/г(т)со5(сот)Л. о

Очень часто используемая модель случайного процесса оказывается такова, что воспользоваться непосредственно определением (3.20) для расчета спектральной плотности мощности не представляется возможным. Если при этом удается вычислить корреляционную функцию, получить спектральную информацию позволяет теорема Винера-Хинчина.

Пример. В качестве примера рассмотрим случайный телеграфный сигнал (см. пример 3 в § 3.1). Поскольку скачки уровня происходят в случайные моменты времени, для данного случайного процесса затруднительно даже изобразить график отдельной реализации, не говоря уже о расчете спектра ее ограниченного во времени фрагмента.

Однако рассчитать корреляционную функцию для данного процесса оказывается совсем несложно. Действительно, произведение разнесенных во времени на т значений случайного процесса может быть равно +1 (если эти значения имеют одинаковый знак) или -1 (если знаки противоположны). Но совпадение знаков означает, что за интервал т произощло четное количество перепадов уровня, а